每日一题[1010]找准方向再出发

已知$a,b>0$且$a+2b=1$,求$a^2+b^2+\dfrac{9}{125ab}$的最小值.


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本题来自尬题6,正确答案是$\dfrac{17}{20}$.

先用拉格朗日乘数法确定最值位置,有\[\begin{aligned}2a-\dfrac{9}{125a^2b}+\lambda=0,\\2b-\dfrac{9}{125ab^2}+2\lambda=0,\\a+2b=1,\end{aligned}\]观察分母容易探索出$(a,b,\lambda)=\left(\dfrac 25,\dfrac {3}{10},\dfrac 7{10}\right)$时取得最小值.接下来进行证明.

改写题目

已知$a,b>0$且$a+b=5$,求$\dfrac{1}{100}\cdot \left(4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}\right)$的最小值.

一方面,有\[\begin{split}4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}&=\underbrace{\dfrac {a^2}{4}+\dfrac{a^2}4+\cdots+\dfrac{a^2}4}_{16}+\underbrace{\dfrac{b^2}9+\dfrac{b^2}9+\cdots+\dfrac{b^2}9}_9+\underbrace{\dfrac{6}{ab}+\dfrac{6}{ab}+\cdots+\dfrac{6}{ab}}_{60}\\&\geqslant 85\left(\dfrac{6^{60}}{4^{16}\cdot 9^9}\cdot \dfrac{1}{a^{28}b^{42}}\right)^{\frac 1{85}},\end{split}\]另一方面,有\[5=a+b=\dfrac a2+\dfrac a2+\dfrac b3+\dfrac b3+\dfrac b3\geqslant 5\left(\dfrac{a^2b^3}{2^23^3}\right)^{\frac 15},\]于是\[a^2b^3\leqslant 2^23^3.\]这样就有\[4a^2+b^2+\dfrac{360}{ab}\geqslant 85\left(\dfrac{6^{60}}{4^{16}\cdot 9^9}\cdot \dfrac{1}{2^{28}3^{42}}\right)^{\frac{1}{85}}=85,\]因此所求的最小值为$\dfrac{85}{100}$,即$\dfrac{17}{20}$.

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