每日一题[1004]椭圆的性质综合

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),$c,e$分别为椭圆$E$的半焦距和离心率,$F_1,F_2$分别为椭圆的左、右焦点.下列命题:
$(1)$设$A$为椭圆上任一点,其到直线$l_1:x=-\dfrac{a^2}{c}$,$l_2:x=\dfrac{a^2}{c}$的距离分别为$d_1,d_2$,则$\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}$;
$(2)$设$A$为椭圆上任一点,$AF_1,AF_2$分别于椭圆交于$B,C$两点,则$$\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}\geqslant 2\cdot \dfrac{1+{e}^2}{1-{e}^2},$$当且仅当点$A$在椭圆的顶点取到等号;
$(3)$设$A$为椭圆上任一点,过$A$的椭圆切线为$l$,$M$为线段$F_1F_2$上一点,且$\dfrac{|AF_1|}{|AF_2|}=\dfrac{|F_1M|}{|MF_2|}$,则直线$AM\perp l$;
$(4)$面积为$2ab$的椭圆内接四边形仅有$1$个.
其中正确的命题个数为(  )
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$


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正确答案是B.

分析与解 $(1)$根据椭圆的焦准定义,有\[\dfrac{|AF_1|}{d_1}=\dfrac{|AF_2|}{d_2}=e.\]$(2)$根据椭圆的焦点弦的调和性质,有\[\dfrac{1}{|AF_1|}+\dfrac{1}{|F_1B|}=\dfrac{1}{|AF_2|}+\dfrac{1}{|F_2C|}=\dfrac{2a}{b^2},\]于是\[\dfrac{|AF_1|}{|F_1B|}+\dfrac{|AF_2|}{|F_2C|}=\dfrac{2a}{b^2}\cdot |AF_1|-1+\dfrac {2a}{b^2}\cdot |AF_2|-1=\dfrac{4a^2}{b^2}-2=2\cdot \dfrac{1+e^2}{1-e^2},\]为定值.

$(3)$根据角平分线定理的逆定理,$AM$是$\angle F_1AF_2$的内角平分线.根据椭圆的光学性质,$AM\perp l$.

$(4)$由于半径为$a$的圆内接正方形的面积为$2a^2$且有无数个,因此面积为$2ab$的椭圆内接四边形也有无数个,且均为平行四边形.

综上所述,正确的命题为$(1)(3)$.

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