每日一题[1003]面积最值

设$P$为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的点,$A,B$分别为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$两渐近线上的动点,且$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}$($\lambda$为常数).设$O$为坐标原点,若$\triangle AOB$面积的最大值为$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}\cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}$,则$\dfrac 1a+\dfrac 7b$的取值范围是______.


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正确答案是$(7,9]$.

分析与解 设$A(am,bm)$,$B(an,-bn)$,则根据定比分点坐标公式,有有\[P\left(a\cdot \dfrac{m+\lambda n}{1+\lambda },b\cdot \dfrac{m-\lambda n}{1-\lambda}\right),\]因此由$P$点在椭圆上可得\[\left(\dfrac{m+\lambda n}{1+\lambda }\right)^2+\left(\dfrac{m-\lambda n}{1+\lambda}\right)^2=1,\]即\[m^2+\lambda^2n^2=\dfrac 12(1+\lambda)^2,\]于是\[\dfrac 12(1+\lambda)^2\geqslant 2|\lambda|\cdot |mn|,\]即\[|mn|\leqslant \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|}.\]另一方面,由面积坐标公式,可得\[\triangle AOB=ab\cdot |mn|\leqslant ab \cdot \dfrac{(1+\lambda)^2}{4|\lambda|},\]因此可得\[\dfrac{a^2+b^2}{a+b}=ab,\]进而\[\dfrac 1a+\dfrac 7b=\left(\dfrac 1a+\dfrac 7b\right)\cdot ab \cdot \dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{7a^2+8ab+b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{7x^2+8x+1}{x^2+1},\]其中$x=\dfrac ab>1$.右侧函数当$x\in (1,2)$时单调递增, 当$x\in (2,+\infty)$时单调递减,因此所求取值范围是$(7,9]$.

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