Math173

设函数 $f(x)={\rm e}^{ax}+\lambda \ln x$，其中 $a<0$，$0<\lambda<\dfrac{1}{\rm e}$．
（1）求证：函数 $f(x)$ 有两个极值点；
（2）若 $-{\rm e}\leqslant a<0$，求证：函数 $f(x)$ 有唯一零点．

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已知抛物线 $\Omega$ 的顶点是坐标原点 $O$，焦点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M,N$ 两点，且满足 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-3$．
（1）求抛物线 $\Omega$ 的方程；
（2）若直线 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$ 交于 $A,B$ 两点，在抛物线 $\Omega$ 上是否存在异于 $A,B$ 的点 $C$，使得经过 $A,B,C$ 三点的圆与抛物线 $\Omega$ 在点 $C$ 处有相同的切线？若存在，求出点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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已知函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac{x^2}{2}-(a+1)x$，$a\in\mathbb R$．
（1）当 $a=-1$ 时，求函数 $f(x)$ 的最小值；
（2）当 $a\leqslant1$ 时，讨论函数 $f(x)$ 的零点个数．

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设$\triangle ABC$的周长为$12$，内切圆的半径为$1$，则（        ）

A．$\triangle ABC$必为直角三角形
B．$\triangle ABC$必为锐角三角形
C．$\triangle ABC$必为直角三角形或锐角三角形
D．以上结论都不对

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已知 $g(x)=x^2-2ax+1$ 在区间 $[1,3]$ 上的值域为 $[0,4]$．
（1）求 $a$ 的值；
（2）若不等式 $g\left(2^x\right)-k\cdot 4^x\geqslant 0$ 在 $x\in [1,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；
（3）若函数 $$y=\dfrac{g\left(|2^x-1|\right)}{|2^x-1|}+k\cdot \dfrac{2}{|2^x-1|}-3k$$ 有 $3$ 个零点，求实数 $k$ 的取值范围．

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已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$，若 $y=\dfrac{f(x)}{x^k}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数，其中 $k$ 为正整数，则称 $f(x)$ 为 $k$ 阶比增函数．
（1）已知函数 $f(x)=x^3-2hx^2-hx$，若 $f(x)$ 是 $1$ 阶比增函数，但不是 $2$ 阶比增函数，求实数 $h$ 的取值范围；
（2）已知实数 $m$ 满足对 任意 $2$ 阶比增函数 $f(x)$，均有 $f(x)<m$，求 $m$ 的最小值．

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已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x$．
（1）求 $f(x)$ 的单调区间；
（2）记 $f(x)$ 在区间 $[0,n]$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）上的最小值为 $b_n$，令 $a_n=\ln(1+n)-b_n$．若对任意正整数 $n$，不等式 $\sqrt{a_n}<\sqrt{a_{n+2}}-\dfrac c{\sqrt{a_{n+2}}}$ 恒成立，求实数 $c$ 的取值范围；
（3）在第 $(2)$ 小题的条件下，求证：$$ \dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_1a_3}{a_2a_4}+\cdots+\dfrac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}}<\sqrt{2a_n+1}-1.$$

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在 $\triangle ABC$ 中，三个内角满足关系式 $y=2+\cos C\cdot \cos (A-B)-\cos^2C$．
（1）若任意交换两个角的位置，$y$ 的值是否会发生变化，并证明你的结论；
（2）求 $y$ 的最大值．

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关于 $x$ 的不等式 $(ax-1)(\ln x+ax)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是_______．

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如图，在边长为 $\sqrt 3$ 的菱形 $ABCD$ 中，$\angle DAB=\dfrac{\pi}3$，$DE=\dfrac 12EC$，$F$ 为线段 $BC$ 的中点，$G$ 为 $EF$ 上的一点，且 $\overrightarrow{AG}=\dfrac 12\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}$，则 $\left|\overrightarrow{BG}\right|$ 的值是（　　）A．$\dfrac{\sqrt{111}}8$
B．$\dfrac{3\sqrt{17}}8$
C．$\dfrac{\sqrt{79}}8$
D．$\dfrac{\sqrt {66}}8$

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