每日一题[1111]三角形形状探索

设$\triangle ABC$的周长为$12$,内切圆的半径为$1$,则(        )

A.$\triangle ABC$必为直角三角形
B.$\triangle ABC$必为锐角三角形
C.$\triangle ABC$必为直角三角形或锐角三角形
D.以上结论都不对


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正确答案是 D.

分析与解    容易联想到边长分别为$3,4,5$的直角三角形,其内切圆半径为$1$.在此基础上,容易调整出锐角三角形,因此问题的关键在于如何通过调整论证钝角三角形的可能性.

调整方案一 根据题意,有$$\dfrac{1}{\tan\dfrac A2}+\dfrac{1}{\tan \dfrac B2}+\dfrac{1}{\tan \dfrac C2}=6,$$设$\tan \dfrac A2=m$,$\tan\dfrac B2=n$,则$$\dfrac{1}{\tan \dfrac C2}=\dfrac{m+n}{1-mn},$$因此$$\dfrac 1m+\dfrac 1n+\dfrac{m+n}{1-mn}=6,$$整理得$$6m^2n^2+(1-6m)n+m=0,$$其判别式$$\Delta=(1-6m)^2-24m^3.$$

注意到当$m=1$,即$A=\dfrac{\pi}2$时,$\Delta=1$,因此可以适当调整$m$,使得$A$为钝角.因此答案是 D.

调整方案二 根据题意有$$\dfrac 12ab\sin C=6,$$且$$a+b+\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos C}=12,$$经整理可得$$\begin{cases} a+b=6+\dfrac{1+\cos C}{\sin C},\\ ab=\dfrac{12}{\sin C},\end{cases} $$因此$a,b$是方程$$x^2-\left(6+\dfrac{1+\cos C}{\sin C}\right)x+\dfrac{12}{\sin C}=0$$的两根,当$C=\dfrac{\pi}2$时,其判别式$\Delta=1$,因此可以适当调整$C$,使其为钝角.因此答案是 D.

调整方案三 用内切圆代换,设$a=y+z$,$b=z+x$,$c=x+y$,则$$x+y+z=6,$$且由海伦公式,可得$$xyz=6.$$

不妨设$x\leqslant y\leqslant z$,则$$a=y+z=6-x$$为最大边,故$A$为最大角.由余弦定理,可得$$\begin{split}\cos A=&\dfrac{(x+y)^2+(x+z)^2-(y+z)^2}{2(x+y)(x+z)}\\=&\dfrac{6}{(x+y)(x+z)}\cdot \left(x-\dfrac 1x\right).\end{split}$$考虑$$(y-z)^2=(y+z)^2-4yz=(6-x)^2-\dfrac{24}{x},$$当$x=1$时,$(y-z)^2=1$,有解;因此当$x$比$1$略小时,该值亦大于$0$,也有解,因此可以适当调整$x$,使三角形为钝角三角形.因此答案是 D.

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