每日一题[1113]存在公切线

已知抛物线 $\Omega$ 的顶点是坐标原点 $O$,焦点 $F$ 在 $y$ 轴正半轴上,过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $M,N$ 两点,且满足 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=-3$.
(1)求抛物线 $\Omega$ 的方程;
(2)若直线 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$ 交于 $A,B$ 两点,在抛物线 $\Omega$ 上是否存在异于 $A,B$ 的点 $C$,使得经过 $A,B,C$ 三点的圆与抛物线 $\Omega$ 在点 $C$ 处有相同的切线?若存在,求出点 $C$ 的坐标;若不存在,请说明理由.


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分析与解 (1)由题可设抛物线 $\Omega:x^2=2py$($p>0$),直线 $l:y=kx+\dfrac{p}{2}$,联立得\[x^2-2pkx-p^2=0,\]设 $M(2px_1,2px_1^2),N(2px_2,2px_2^2)$,则有\[x_1x_2=-\dfrac14,\]因此有\[\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=4p^2\cdot\left(x_1x_2+x_1^2x_2^2\right)=-3,\]解得 $p=2$,因此抛物线 $\Omega$ 的方程为 $x^2=4y$.

(2)联立 $y=x$ 与抛物线 $\Omega$,得\[A(0,0),B(4,4),\]因此过 $A,B,C$ 三点的圆可设为\[x^2+y^2+Dx+Ey=0,\]设点 $C\left(4m,4m^2\right)$,注意到圆与抛物线在 $C$ 处相切,在 $A,B$ 处相交,联立抛物线 $\Omega$ 与圆的方程,得\[\dfrac{x^4}{16}+\left(\dfrac{E}{4}+1\right)x^2+Dx=0,\]可知\[4m,4m,0,4\]是其四个根,根据高次方程韦达定理有\[4m+4m+0+4=0,\]解得 $m=-\dfrac12$,因此 $-2,-2,4$ 是方程\[\dfrac{x^3}{16}+\left(\dfrac{E}{4}+1\right)x+D=0,\]的三个根,故有\[\begin{aligned} (-2)\cdot(-2)\cdot4=&-16\cdot D,\\(-2)^2+(-2)\cdot 4+(-2)\cdot 4=&16\left(\dfrac E4+1\right),\end{aligned} \]解得 \(D=-1,E=-7\),因此存在 $C(-2,1)$ 满足题意,且圆的方程为 $$x^2+y^2-x-7y=0.$$

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