每日一题[1109]k阶比增函数

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$,若 $y=\dfrac{f(x)}{x^k}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数,其中 $k$ 为正整数,则称 $f(x)$ 为 $k$ 阶比增函数.
(1)已知函数 $f(x)=x^3-2hx^2-hx$,若 $f(x)$ 是 $1$ 阶比增函数,但不是 $2$ 阶比增函数,求实数 $h$ 的取值范围;
(2)已知实数 $m$ 满足对 任意 $2$ 阶比增函数 $f(x)$,均有 $f(x)<m$,求 $m$ 的最小值.


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分析与解 (1)根据已知条件,有\[\begin{split} \left(\dfrac{f(x)}{x}\right)'&=2x-4h,\\\left(\dfrac{f(x)}{x^2}\right)'&=1+\dfrac{h}{x^2},\end{split}\]满足\[\begin{cases} \forall x>0,2x-4h\geqslant 0,\\ \exists x>0,1+\dfrac{h}{x^2}<0,\end{cases}\]于是实数 $h$ 的取值范围是 $(-\infty,0)$.

(2)若存在 $x_0$ 使得 $f(x_0)\geqslant 0$,则\[\dfrac{f(x_0+1)}{(x_0+1)^2}>\dfrac{f(x_0)}{x_0^2}\geqslant 0,\]于是\[\forall x>x_0+1,f(x)>\dfrac{f(x_0+1)}{(x_0+1)^2}\cdot x^2,\]与 $f(x)$ 有上界 $m$ 矛盾.因此对任意 $x\in(0,+\infty)$,都有 $f(x)<0$,实数 $m$ 可以取到 $0$.
另一方面,当 $f(x)=-x$($x>0$)时,函数 $y=-\dfrac 1x$ 是 $(0,+\infty)$ 上的增函数,此时 $f(x)$ 的上界 $m=0$.
综上所述,$m$ 的最小值为 $0$.

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