每日一题[1105]向量的两面

如图，在边长为 $\sqrt 3$ 的菱形 $ABCD$ 中，$\angle DAB=\dfrac{\pi}3$，$DE=\dfrac 12EC$，$F$ 为线段 $BC$ 的中点，$G$ 为 $EF$ 上的一点，且 $\overrightarrow{AG}=\dfrac 12\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AD}$，则 $\left|\overrightarrow{BG}\right|$ 的值是（　　）A．$\dfrac{\sqrt{111}}8$
B．$\dfrac{3\sqrt{17}}8$
C．$\dfrac{\sqrt{79}}8$
D．$\dfrac{\sqrt {66}}8$

正确答案是A．

分析与解　法一　如图建系，设菱形 $ABCD$ 对角线的交点为 $O$，则 $\overrightarrow{AO}=\dfrac 12\overrightarrow{AC}$，因此 $OG\parallel AD$．

此时 $A\left(-\dfrac 32,0\right)$，$B\left(0,-\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，$C\left(\dfrac 32,0\right)$，$D\left(0,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$，进而\[E\left(\dfrac 12,\dfrac{\sqrt 3}3\right),F\left(\dfrac 34,-\dfrac{\sqrt 3}4\right),\]于是\[EF:y=-\dfrac{7\sqrt 3}3x+\dfrac{3\sqrt 3}2,\]而\[OG:y=\dfrac{\sqrt 3}3x,\]联立解得 $G\left(\dfrac 9{16},\dfrac{3\sqrt 3}{16}\right)$，因此\[BG=\sqrt{\left(\dfrac{9}{16}-0\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt 3}{16}+\dfrac{\sqrt 3}2\right)^2}=\dfrac{\sqrt{111}}8.\]
法二　记 $\overrightarrow{AD}={\bf a}$，$\overrightarrow{AB}={\bf b}$，则\[\begin{split} \overrightarrow{AE}&={\bf a}+\dfrac 13{\bf b},\\\overrightarrow{AF}&=\dfrac 12{\bf a}+{\bf b},\\\overrightarrow{AG}&=\left(t+\dfrac 12\right){\bf a}+\dfrac 12{\bf b},\end{split}\]由于 $E,G,F$ 三点共线，因此\[\begin{cases} t+\dfrac 12=\lambda+\dfrac 12(1-\lambda),\\ \dfrac 12=\dfrac 13\lambda+1-\lambda,\end{cases}\]解得 $\left(t,\lambda\right)=\left(\dfrac 38,\dfrac 34\right)$．于是\[\overrightarrow{AG}=\dfrac 78{\bf a}+\dfrac 12{\bf b},\]进而\[\begin{split} BG&=\sqrt{\left(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}\right)\cdot \left(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}\right)}\\&=\sqrt{\left(\dfrac 78{\bf a}-\dfrac 12{\bf b}\right)\cdot \left(\dfrac 78{\bf a}-\dfrac 12{\bf b}\right)}\\&=\sqrt{\dfrac{49}{64}{\bf a}^2-\dfrac 78{\bf a}\cdot {\bf b}+\dfrac 14{\bf b}^2}\\&=\sqrt{\dfrac{49}{64}\cdot 3-\dfrac 78\cdot \dfrac 32+\dfrac 14\cdot 3}\\&=\dfrac{\sqrt{111}}8.\end{split}\]