每日一题[1110]函数“一锅鲜”

已知 $g(x)=x^2-2ax+1$ 在区间 $[1,3]$ 上的值域为 $[0,4]$.
(1)求 $a$ 的值;
(2)若不等式 $g\left(2^x\right)-k\cdot 4^x\geqslant 0$ 在 $x\in [1,+\infty)$ 上恒成立,求实数 $k$ 的取值范围;
(3)若函数 $$y=\dfrac{g\left(|2^x-1|\right)}{|2^x-1|}+k\cdot \dfrac{2}{|2^x-1|}-3k$$ 有 $3$ 个零点,求实数 $k$ 的取值范围.


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分析与解 (1)根据题意,函数 $g(x)$ 的最大值必然在区间端点处取得,因此有\[g(1)=4\lor g(3)=4,\]解得 $a=-1$ 或 $a=1$.经检验可得 $a$ 的值为 $1$.

(2)设 $2^x=t$,则不等式即\[t^2-2t+1-k\cdot t^2\geqslant 0,\]即\[(1-k)t^2-2t+1\geqslant 0.\]题意即\[\forall t\geqslant 2,(1-k)t^2-2t+1\geqslant 0,\]也即\[\forall t\geqslant 2,1-k\geqslant -\left(\dfrac 1t\right)^2+\dfrac 2t,\]也即\[1-k\geqslant \dfrac 34,\]因此 $k$ 的取值范围是 $\left(-\infty,\dfrac 14\right]$.

(3)令 $t=|2^x-1|$ 且 $t\ne 0$,如图.$t$ 的不同取值与 $x$ 的取值个数 $n$ 的对应关系如下\[\begin{array} {c|ccc}\hline
t&(-\infty,0)&(0,1)&[1,+\infty)\\ \hline n&0&2&1\\ \hline\end{array}\]下面有两种思路:

思路一  考虑方程\[t^2-2t+1+2k-3kt=0,\]也即\[k=\dfrac{t^2-2t+1}{3t-2},\]记右侧函数为 $\varphi(t)$,则\[\varphi(t)=\dfrac 19\left[\left(3t-2\right)+\dfrac 1{3t-2}\right]-\dfrac 29,\]直线 $y=k$ 与 $\varphi(t)$ 图象有两个公共点,且横坐标分别在 $(0,1)$ 和 $[1,+\infty)$ 内.

如图,可得 $k$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$.

思路二  考虑关于 $t$ 的方程\[t^2-2t+1+2k-3kt=0,\]也即\[t^2-(3k+2)t+2k+1=0,\]的两根分别位于区间 $(0,1)$ 和 $[1,+\infty)$ 内.
情形一 $t=1$ 是方程的根.此时 $k=0$,不符合题意.
情形二 $t=1$ 不是方程的根.此时问题即
\[\begin{cases} \left(t^2-(3k+2)t+2k+1\right)\Big|_{t=0}>0,\\ \left(t^2-(3k+2)t+2k+1\right)\Big|_{t=1}<0,\end{cases}\]解得 $k>0$.
综上所述,实数 $k$ 的取值范围是 $(0,+\infty)$.

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