求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{16}{(2k+1)(2k+2)}>\dfrac{9n-3}{4n+3}$．
已知函数$f(x)=x\ln x-\dfrac a2x^2-x$有两个极值点$x_1,x_2$，求证：$\dfrac{1}{\ln x_1}+\dfrac{1}{\ln x_2}>2a{\rm e}$．
已知数列$\{a_n\}$，$a_0=0$，对任意正整数$n$都有$\left|a_n-a_{n-1}\right|=2^{n-1}$，$m$是给定的正整数，求$a_m$的所有可能取值．
已知抛物线$x^2=2py$($p>0$)的弦$AB$的中点为$M$，弦长为$l$，求$M$到$x$轴距离$h$的最小值．
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设数列$a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_{21}$满足：$\left|a_{n+1}-a_n\right|=1$($n=1,2,3,\cdots,20$)，$a_1,a_7,a_{21}$成等比数列．若$a_1=1$，$a_{21}=9$，则满足条件的不同数列的个数为_______．
棱长为$2$的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$在空间直角坐标系$O-xyz$中运动，其中顶点$A$保持在$z$轴上，顶点$B_1$保持在平面$xOy$上，则$OC$长度的最小值是_____．
已知$x_1,x_2$分别是关于$x$的方程$x{\rm e}^x={\rm e}^2$和$x\ln x={\rm e}^2$的解，则$x_1x_2$的值是________．
已知实数$a,b>0$，$f(x)=ax^2+b$满足对于任意$x,y\in\mathbb R$，$$f(xy)+f(x+y)\geqslant f(x)\cdot f(y),$$求实数$a,b$需要满足的条件．
已知$O$是$\triangle ABC$的外心，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，若$A$是锐角且满足\[3\sqrt{41-40\cos A}+4\sqrt{34-30\sin A}=25,\]则$x+y$的最大值为_______．
