已知函数 $f(x)=x\ln x+x^2-ax+2$，其中 $a$ 是实数．若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$．
（1）求证：$x_1+x_2>2$；
（2）求证：$x_1\cdot x_2>1$．
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每日一题[1123]三角形的内心
已知 $I$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$AB=2$，$AC=3$，若 $\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，$2x+3y=m$，则 $m$ 的取值范围是________．
每日一题[1122]约束条件处理
已知函数 $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac 12ax^2+2bx+c$ 在区间 $(0,1)$ 上有极大值，在区间 $(1,2)$ 上有极小值，若 $(a+3)b\leqslant t$ 恒成立，则 $t$ 的取值范围是______．
每日一题[1121]用导数证明函数不等式
已知函数 $f(x)=\ln x-kx+k$．
（1）若 $f(x)\geqslant 0$ 有唯一解，求实数 $k$ 的值；
（2）求证：当 $a\leqslant 1$ 时，$x\left(f(x)+kx-k\right)<{\rm e}^x-ax^2-1$；
每日一题[1119]对数平均不等式
设函数 $f(x)=4\ln x-\dfrac 12ax^2+(4-a)x$，其中 $a\in\mathbb R$．
（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若函数 $f(x)$ 存在极值，对于任意的 $0<x_1<x_2$，存在正实数 $x_0$，使得 $$f(x_1)-f(x_2)=f'(x_0)\cdot (x_1-x_2),$$试判断 $x_1+x_2$ 与 $2x_0$ 的大小关系并给出证明．
每日一题[1118]统一“度量衡”
已知函数 $f(x)=\begin{cases} 2x^2-x,&x\leqslant 0,\\ -x^2+x,&x>0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m$ 有 $3$ 个实数解 $x_1,x_2,x_3$，且 $x_1<x_2<x_3$，则实数 $m$ 的取值范围 $D$ 是_______，当 $m$ 在 $D$ 内变化时，$x_1+x_2x_3$ 的取值范围是_______．
每日一题[1117]割线斜率
已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-ax$（$a>0$）．如果 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，记过点 $A(x_1,f(x_1))$ 和 $B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$，若 $k>-\dfrac{2}{\rm e}$，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[1116]各显神通
$E,F$ 是等腰直角 $\triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点，则 $\tan \angle ECF = $ （ ）
A．$\dfrac{16}{27}$
B．$\dfrac{2}{3}$
C．$\dfrac{\sqrt 3 }{3}$
D．$\dfrac{3}{4}$