设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\}\ \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于$A_{2n}$的每一个含有$m\ (m\geqslant 4)$个元素的子集$P$，$P$中必有$4$个元素的和等于$4n+1$，则称正整数$m$为集合$A_{2n}$的一个“相关数”．
(1) 当$n=3$时，判断$5$和$6$是否为集合$A_6$的“相关数”，说明理由；
(2) 若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”，证明：$m-n-3\geqslant 0$；
(3) 给定正整数$n$，求集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值．
已知函数$f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$，其中$a\in\mathbb R$．
(1)求函数$f'(x)$的零点个数；
(2)证明：$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件．
在平面直角坐标$xOy$中，抛物线$C$的顶点是原点，以$x$轴为对称轴，且经过点$P(1,2)$．
(1) 求抛物线$C$的方程；
(2) 设点$A,B$在抛物线$C$上，直线$PA,PB$分别与$y$轴交于点$M,N$，$|PM|=|PN|$，求直线$AB$的斜率．
已知$a,b,c\geqslant 0$，$ab+bc+ca=1$，求证：$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geqslant \dfrac 52$．
我搞数学教研到现在已经八年时间了．在这八年时间里我学习进步了很多，非常充实快乐同时也非常辛苦．早就打算把自己的心得体会系统的写出来，但诸事加身，断断续续也没写多少．
函数$f(x)=x|x|$．若存在$x\in[1,+\infty)$，使得$f(x-2k)-k<0$，则$k$的取值范围是( )
A．$\left(2,+\infty\right)$
B．$\left(1,+\infty\right)$
C．$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$
已知实数$a_1,a_2,a_3,a_4$满足$a_1a_4-a_2a_3=1$，求$$M=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4$$的最小值．
已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-x$．
(1) 若曲线$y=f(x)$在$(0,f(0))$处的切线$l$与直线$x+2y+3=0$垂直，求$a$的值；
(2) 当$a\ne 1$时，求证：存在实数$x_0$使$f(x_0)<1$．
已知椭圆$G:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($0<b<\sqrt{6}$)的两个焦点分别为$F_1$和$F_2$，短轴的两个端点分别为$B_1$和$B_2$，点$P$在椭圆$G$上，且满足$\left|PB_1\right|+\left|PB_2\right|=\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|$．当$b$变化时，给出下列三个命题：
(1) 点$P$的轨迹关于$y$轴对称；
(2) 存在$b$使得椭圆$G$上满足条件的点$P$仅有两个；
(3) $|OP|$的最小值为$2$，
其中，所有正确命题的序号是_______．
