每日一题[1107]三角形的内角关系

在 $\triangle ABC$ 中,三个内角满足关系式 $y=2+\cos C\cdot \cos (A-B)-\cos^2C$.
(1)若任意交换两个角的位置,$y$ 的值是否会发生变化,并证明你的结论;
(2)求 $y$ 的最大值.


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分析与解 (1)根据题意,有\[\begin{split} y&=2+\cos C\cdot \left(\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B\right)-\cos^2C\\&=2+\cos A\cos B\cos C+\cos C\left[\sin A\sin B+\cos(A+B)\right]\\&=2+2\cos A\cos B\cos C,\end{split}\]于是任意交换两个角的位置,$y$ 的值不会发生变化.

(2)不妨设 $C$ 为锐角.

法一 设 $A-B=2x$,则 $A=\dfrac{\pi-C}2+x$,$B=\dfrac{\pi-C}2-x$,于是\[\begin{split}\cos A\cos B\cos C&=\sin\left(\dfrac C2-x\right)\sin\left(\dfrac C2+x\right)\cos C\\&=\left(\sin^2\dfrac C2-\sin^2x\right)\cos C\\&\leqslant \sin^2\dfrac C2\cos C\\&=\dfrac 12\cdot (1-\cos C)\cos C\\&\leqslant \dfrac 18,\end{split}\]等号当 $x=0$ 且 $C=\dfrac{\pi}3$,即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时取得.因此所求的最大值为 $\dfrac 94$.

法二 由(1)得\[\begin{split} y=&2+\cos C\cdot[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\\\leqslant &2+\cos C-\cos^2C\\=&-\left(\cos C-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 94\leqslant \dfrac 94,\end{split}\]等号当 $A=B$,且 $\cos C=\dfrac 12$,即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时取得.因此所求的最大值为 $\dfrac 94$.

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