在 $\triangle ABC$ 中，三个内角满足关系式 $y=2+\cos C\cdot \cos (A-B)-\cos^2C$．
（1）若任意交换两个角的位置，$y$ 的值是否会发生变化，并证明你的结论；
（2）求 $y$ 的最大值．
分析与解 （1）根据题意，有\[\begin{split} y&=2+\cos C\cdot \left(\cos A\cdot \cos B+\sin A\cdot \sin B\right)-\cos^2C\\&=2+\cos A\cos B\cos C+\cos C\left[\sin A\sin B+\cos(A+B)\right]\\&=2+2\cos A\cos B\cos C,\end{split}\]于是任意交换两个角的位置，$y$ 的值不会发生变化．
（2）不妨设 $C$ 为锐角．
法一 设 $A-B=2x$，则 $A=\dfrac{\pi-C}2+x$，$B=\dfrac{\pi-C}2-x$，于是\[\begin{split}\cos A\cos B\cos C&=\sin\left(\dfrac C2-x\right)\sin\left(\dfrac C2+x\right)\cos C\\&=\left(\sin^2\dfrac C2-\sin^2x\right)\cos C\\&\leqslant \sin^2\dfrac C2\cos C\\&=\dfrac 12\cdot (1-\cos C)\cos C\\&\leqslant \dfrac 18,\end{split}\]等号当 $x=0$ 且 $C=\dfrac{\pi}3$，即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac 94$．
法二 由(1)得\[\begin{split} y=&2+\cos C\cdot[\cos(A+B)+\cos(A-B)]\\\leqslant &2+\cos C-\cos^2C\\=&-\left(\cos C-\dfrac 12\right)^2+\dfrac 94\leqslant \dfrac 94,\end{split}\]等号当 $A=B$，且 $\cos C=\dfrac 12$，即 $(A,B,C)=\left(\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3,\dfrac{\pi}3\right)$ 时取得．因此所求的最大值为 $\dfrac 94$．