每日一题[1106]恒成立问题

关于 $x$ 的不等式 $(ax-1)(\ln x+ax)\geqslant 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立,则实数 $a$ 的取值范围是_______.


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正确答案是$\left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$.

分析与解 法一 根据题意,有\[\forall x>0,\left(a-\dfrac 1x\right)\left(a+\dfrac{\ln x}x\right)\geqslant 0,\]也即\[\forall x>0,a\leqslant \min\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\}\lor a\geqslant \max\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\}.\]考虑其反面,为\[\exists x>0,\min\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\}< a < \max\left\{\dfrac 1x,-\dfrac{\ln x}x\right\},\]用导数研究函数 $y=-\dfrac{\ln x}x$,并作出 $y=\dfrac 1x$ 与 $y=-\dfrac{\ln x}x$ 的图象如下:
容易得到\[a>{\rm e}\lor -\dfrac{1}{\rm e}<a<{\rm e},\]于是所求的实数 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$.

法二 直接对 $a$ 进行讨论,显然 $a\ne 0$,以$0$为分界点:

若 $a<0$,因为 $ax-1<0$,所以 $\ln x+ax\leqslant 0$ 恒成立,而函数 $m(x)=\ln x+ax$ 的最小值在 $-\dfrac 1a$ 时取到,所以 $m\left(-\dfrac 1a\right)\leqslant 0$,解得 $a\leqslant -\dfrac 1{\rm e}$.
若 $a>0$,则有 $\left(x-\dfrac 1a\right)\left(\ln x+ax\right)\geqslant 0$ 恒成立,因为函数 $y=x-\dfrac 1a$ 与函数 $y=\ln x+ax$ 都在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,而第一个函数有唯一的零点 $\dfrac 1a$,所以后一个函数也有唯一的零点 $\dfrac 1a$,即\[\ln\dfrac 1a+a\cdot\dfrac 1a=0,\]解得 $a=\rm e$.
综上知 $a$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1}{\rm e}\right]\cup\left\{{\rm e}\right\}$.

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