设 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上可导的奇函数，$f'(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数．已知 $x>0$ 时 $f(x)<f'(x)$，$f(1)={\rm e}$，不等式\[0<f\left(\ln (x+\sqrt{1+x^2})\right)\leqslant x+\sqrt{1+x^2}\]的解集为 $M$，则在 $M$ 上，$g(x)=\sin 6x$ 的零点个数为_______．
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每日一题[1211]太极函数
我国古代太极图是一种优美的对称图．如果一个函数的图象能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们就称这样的函数为圆的“太极函数”，下列命题中正确的有（ ）
A．对于任意一个圆，其对应的太极函数不唯一
B．如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆是同心圆
C．圆 $(x-1)^2+(y-1)^2=4$ 的一个太极函数是 $f(x)=x^3-3x^2+3x$
D．圆的太极函数均是中心对称图形
每日一题[1210]引路明灯
已知 $a,b,c\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$ 且 $\cos a=a$，$\sin(\cos b)=b$，$\cos(\sin c)=c$，则 $a,b,c$ 中的最大数是_______；$a,b,c$ 中的最小数是_______．
每日一题[1209]步调一致得胜利
若 $f(x)$ 为 $(a,b)$ 上的可导函数，且其导函数 $f'(x)$ 为增函数，则称 $f(x)$ 是 $(a,b)$ 上的凸函数．
1、判断函数 $y=x^3$ 与 $y=\ln \dfrac 1x$ 是否为定义域上的凸函数；
2、设 $f(x)$ 为 $(a,b)$ 上的凸函数，求证：若 $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1$，$\lambda_i>0$（$i=1,2,\cdots,n$），则对任意 $x_i\in(a,b)$（$i=1,2,\cdots,n$）均有\[\lambda_1f(x_1)+\lambda_2f(x_2)+\cdots+\lambda_nf(x_n)\geqslant f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2\cdots\lambda_nx_n\right);\]
3、设 $a,b,c>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 6$，求证：\[a^n+b^n+c^n\geqslant a^{n-5}b^3c^2+b^{n-5}c^3a^2+c^{n-5}a^3b^2.\]
每日一题[1208]极值估计
已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x{\rm e}^x-a{\rm e}^{2x}$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．
1、求实数 $a$ 的取值范围；
2、求证：$f(x_2)>-\dfrac 12$．
每日一题[1207]端点分析
已知函数 $f(x)=\left(x^2-x-1\right){\rm e}^x$．
1、求函数 $f(x)$ 的单调区间；
2、若方程 $a\left(\dfrac{f(x)}{{\rm e}^x}+1\right)+{\rm e}x={\rm e}^x$ 在 $(0,1)$ 内有解，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[1206]设而不求
已知定义域为 $\mathbb R$ 的函数 $f(x),g(x)$ 满足 $f(x)+g(x)=\dfrac{2x}{x^2+8}$，则 $\min\{f(x),g(x)\}$ 的最大值为_______．
每日一题[1205]双重最值
已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+bx+c\right)$，$x\in[-1,1]$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $M(b,c)$，当 $b,c$ 变化时，求 $M(b,c)$ 的最小值．
每日一题[1204]对数的进阶放缩
已知函数 $f(x)=(x-1){\rm e}^x-ax+1$．
1、设 $a=0$，求不等式 $f(x)\leqslant 0$ 的解集；
2、求证：对任意 $a>0$，都有 $f\left(\ln(1+a)\right)<0$；
3、设函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(t,\ln\left({\rm e}^t+a\right)\right)$，$f(x)$ 的值域为 $A$，试求对任意 $a>0$ 都有 $A\subseteq (-\infty,0)$ 的充要条件．
每日一题[1203]单点突破
已知 $f(x)=\left(x^3-ax\right)\ln\left(x^2+1-a\right)$，$x\in \mathbb R$．
1、若方程 $f(x)=0$ 有 $3$ 个实数解，求实数 $a$ 的取值范围；
2、在 $(1)$ 的条件下，是否存在实数 $a$，使得 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上恰有两个极值点 $x_1,x_2$ 且满足 $x_2=2x_1$，若存在，求实数 $a$ 的值；若不存在，请说明理由．