已知函数 $f(x)=\dfrac{\sin x+m}{\cos x+2}+n\cdot \tan x$ 的最大值与最小值之和为 $8$，则 $m+n$ 的值是_______．
求证：$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$．
已知平面 $\alpha$ 内梯形 $ABCD$ 与梯形 $A_1B_1C_1D_1$ 分别在直线 $l$ 两侧（与直线 $l$ 没有公共点）且关于直线 $l$ 对称．将平面 $\alpha$ 沿直线 $l$ 折成直二面角，则 $A,B,C,D,A_1,B_1,C_1,D_1$ 可以确定平面的个数可能是（ ）
A．$56$
B．$32$
C．$26$
D．$16$
定义数列 $\{a_n\}$ 如下：
① $a_1=a$；
② 若 $a_k\ne 2$，定义 $a_{k+1}=\dfrac{1}{2-a_k}$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）；若 $a_k=2$，则数列终止．
若这样定义的数列中项的取值集合为有限集合，则 $a$ 的取值集合为________．
已知异面直线 $AB,CD$，求证：以 $AB$ 为轴将 $CD$ 旋转一周得到的曲面是双曲面（双曲面即双曲线绕其对称轴旋转生成的曲面，分单叶双曲面与双叶双曲面）．
已知 $f(x)=(2a+1)\cdot {\rm e}^x-\left(a^2-1\right)\cdot {\rm e}^{-x}$．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是_______；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
已知定义在 \(\mathbb R\) 上的函数 \(f(x)\) 是以 \(6\) 为周期的奇函数，当 \(x\in(0,3)\) 时，\[f(x)=\ln \left(2x^2-4x+a\right).\]若函数 \(f(x)\) 在区间 \([-3,3]\) 上有 \(5\) 个零点，则实数 \(a\) 的取值范围是_______．
在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中，$\angle AOB=60^\circ$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，$PH\perp OA$ 于 $H$，且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$，$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$，求 $OA$．
