每日一题[1038]正“斜”不两立

已知平面 $\alpha$ 内梯形 $ABCD$ 与梯形 $A_1B_1C_1D_1$ 分别在直线 $l$ 两侧(与直线 $l$ 没有公共点)且关于直线 $l$ 对称.将平面 $\alpha$ 沿直线 $l$ 折成直二面角,则 $A,B,C,D,A_1,B_1,C_1,D_1$ 可以确定平面的个数可能是(  )

A.$56$
B.$32$
C.$26$
D.$16$


注:每日一题中所有选择题默认为不定项选择.
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正确答案是BC.

分析与解 先考虑从 $8$ 个点中选出 $3$ 个,有 ${\rm C}_8^3$ 种选法.然后计算四点共面的数量.考虑到 $A,B,C,D$ 以及 $A_1,B_1,C_1,D_1$ 以及两个梯形的四条边和两条对角线分别对应相交或平行,有 $8$ 组四点共面.

情形一 $AB\parallel CD\parallel l$.此时有额外的 $A_1,B_1,C,D$ 与 $A,B,C_1,D_1$ 共面,因此总数为\[{\rm C}_8^3-3\cdot 10=26.\]
情形二 $AB\parallel CD$ 且延长线与直线 $l$ 相交.此时没有额外的四点共面,因此总数为\[{\rm C}_8^3-3\cdot 8=32.\]

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