每日一题[1037]取值有限

定义数列 $\{a_n\}$ 如下:
① $a_1=a$;
② 若 $a_k\ne 2$,定义 $a_{k+1}=\dfrac{1}{2-a_k}$($k\in\mathbb N^{\ast}$);若 $a_k=2$,则数列终止.
若这样定义的数列中项的取值集合为有限集合,则 $a$ 的取值集合为________.


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正确答案是$\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$.

分析与解 情形一 数列 $\{a_n\}$ 是有穷数列.

此时必有某个 $a_k=1$,因为 $a_k=2-\dfrac{1}{a_{k+1}}$,考虑数列\[b_{n+1}=2-\dfrac{1}{b_n},\]其中 $b_1=2$.可归纳证明\[b_n=1+\dfrac 1n,n\in\mathbb N^{\ast}.\]
所以此时 $a$ 的取值集合为 $\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$.

情形二 数列 $\{a_n\}$ 是无穷数列.

因为它是由递推关系定义的,所以一定从某项起为周期数列.分情况讨论:
(i)当 $a=1$ 时,$a_n=1$,符合题意.
(ii)当 $a<1$ 时,数列 $\{a_n\}$ 单调递增趋于 $1$,不符合题意;
(iii)当 $a>2$ 时,$a_2<\dfrac 14$,于是数列 $\{a_n\}$ 从第 $2$ 项起单调递增趋于 $1$,不符合题意;
(iv)当 $\dfrac 32<a<2$ 时,$a_2>2$,于是数列 $\{a_n\}$ 从第 $3$ 项起单调递增趋于 $1$,不符合题意;
(v)当 $1<a<\dfrac 32$ 时,若存在某个 $a_k\notin\left(1,\dfrac 32\right)$,则由以上讨论知不符合题意;若 $\forall k\in\mathbb{N}^{\ast},a_k\in\left(1,\dfrac 32\right)$,则由$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac 1{a_k(2-a_k)}>1$$知 $\{a_n\}$ 单调递增.又因为 $y=\dfrac 1{x(2-x)}$ 在 $\left(1,\dfrac 32\right)$ 上单调递增,所以$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac 1{a_k(2-a_k)}\geqslant\dfrac 1{a(2-a)}>1,$$所以$$a_k>a\cdot\left(\dfrac 1{a(2-a)}\right)^{k-1},$$与 $a_k<\dfrac 32$ 矛盾,故此时也不符合题意.
综上知,$a$ 的取值集合为 $\{1\}\cup\left\{1+\dfrac 1k\mid k\in\mathbb N^{\ast}\right\}$.

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