每日一题[1039]一切尽在掌控

已知关于 $x$ 的二次方程 $ax^2+bx+c=0$($a,b,c\in\mathbb R$)有实数根.
(1)求证:$\min\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 14(a+b+c)$;
(2)求证:$\max\{a,b,c\}\geqslant \dfrac 49(a+b+c)$.


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分析与解 (1)情形一 $\min\{a,b,c\}\leqslant 0$.此时有\[a+b+c\geqslant 3\min\{a,b,c\}\geqslant 4\min\{a,b,c\}.\]
情形二 $ \min\{a,b,c\}>0 $.此时 $ a,b,c>0 $,不妨设 $ a\geqslant c $,则\[b^2\geqslant 4ac\geqslant 4c^2,\]于是 $ b\geqslant 2c$,因此\[a+b+c\geqslant a+2c+c\geqslant 4c=4\min\{a,b,c\}.\]综上所述,原命题得证.

(2)情形一  $\max\{a,b,c\}\leqslant 0$.此时有\[a+b+c\leqslant 3\max\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]
情形二  $\max\{a,b,c\}>0$ 且 $\min\{a,b,c\}\leqslant 0$.此时有\[a+b+c\leqslant 2\max\{a,b,c\}+\min\{a,b,c\}\leqslant 2\max\{a,b,c\}\leqslant \dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]
情形三  $\min\{a,b,c\}>0$.此时 $a,b,c>0$,不妨设 $a\geqslant c$.
(i)若 $a\geqslant b\geqslant c$,则\[b^2\geqslant 4ac\geqslant 4bc,\]于是 $b\geqslant 4c$,从而\[a+b+c\leqslant \dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]
(ii)若 $b\geqslant 4a\geqslant c$,则\[a+b+c\leqslant \dfrac 94b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]
(iii)若 $4a>b\geqslant a\geqslant c$,则\[a+b+c\leqslant a+b+\dfrac{b^2}{4a}\leqslant b+\dfrac 54b=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.\]注意 $a+\dfrac{b^2}{4a}$ 是关于 $a$ 的对勾函数,当 $\dfrac b4<a\leqslant b$ 时,最大值在 $a=b$ 时取到.
(iv)若 $a\geqslant c>b$,则$$a+b+c\leqslant a+a+\dfrac{b^2}{4a}<a+a+\dfrac a4=\dfrac 94a=\dfrac 94\max\{a,b,c\}.$$
综上所述,原命题得证.

(1)中取等条件为 $(a,b,c)=(a,2a,a)$,(2)中取等条件为 $(a,b,c)=(a,4a,4a)$.

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