每日一题[1035]双曲面

已知异面直线 $AB,CD$,求证:以 $AB$ 为轴将 $CD$ 旋转一周得到的曲面是双曲面(双曲面即双曲线绕其对称轴旋转生成的曲面,分单叶双曲面与双叶双曲面).


cover分析与解 如图,设 $OH$ 是异面直线 $AB,CD$ 的公垂线段,并建立平面直角坐标系 $xOy$.$P$ 点为 $D$ 点在旋转一周的过程中在轴截面 $xOy$ 上的对应点.
设 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 的夹角为 $\theta$.由\[\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HD},\]可得\[BD^2=BO^2+OH^2+HD^2-2\cdot BO\cdot HD\cdot\cos\theta,\]又 $BO=HD\cdot\cos\theta$,且 $BD=BP$,于是\[BP^2-\left(\dfrac{1}{\cos^2\theta}-1\right)BO^2=OH^2,\]也即\[BP^2-\tan^2\theta\cdot BO^2=OH^2,\]此数量关系符合双曲线方程,因此命题得证.


给出一道与此相关的练习:

在正方体 \(ABCD-A_1B_1C_1D_1\) 中,点 \(P\) 在正方体表面运动,$P$不与$A$重合,如果 \(S_{\triangle ABD_1}=S_{\triangle PBD_1}\),那么这样的点 \(P\) 个数为______.

正确答案是$5$个.
根据题意,\(P\) 点到正方体的体对角线 \(BD_1\) 的距离与 \(A\) 点到 \(BD_1\) 的距离相同,因此 \(P\) 点在以 \(BD_1\) 为轴,\(d(A,BD_1)\) 为半径的圆柱面上.
如图,考虑到正方体绕直线 \(BD_1\) 旋转形成的曲面由圆锥面和双曲面(异面直线绕其中一条旋转形成)构成,因此公共点共有 \(5\) 个,为除 \(A,B,D_1\) 以外的正方体的顶点.

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