每日一题[1040]组合数等式的两面

求证:$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3$.


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分析与证明 法一 设想 $n+1$ 名同学排成一队,记为 $a_1,a_2,\cdots,a_{n+1}$.将其中第 $k+1$ 名同学选出,然后从排在这名同学之前的 $k$ 名同学中选出一名,从排在这名同学之后的 $n-k$ 名同学中选出一名,组成一个三人小组,不同的选法有\[1\cdot (n-1)+2\cdot (n-2)+\cdots+(n-1)\cdot 1,\]如图.


而此三人小组同时亦为从这 $n+1$ 名同学中选出 $3$ 人构成的组合数,因此\[\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)={\rm C}_{n+1}^3.\]

法二 根据题意,有\[\begin{split}\sum_{k=1}^{n-1}k(n-k)&=\sum_{k=1}^{n-1}k[(n+1)-(k+1)]\\&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}k(k+1),\\&=(n+1)\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_k^1-2\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_{k+1}^2\\&=(n+1){\rm C}_n^2-2{\rm C}_{n+1}^3\\&=3{\rm C}_{n+1}^3-2{\rm C}_{n+1}^3\\&={\rm C}_{n+1}^3.\end{split}\]

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