求证：$\tan ^21^\circ+\tan ^22^\circ+\tan ^23^\circ+\cdots+\tan ^288^\circ+\tan ^289^\circ=\dfrac{15931}{3}$．
设数列$\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\},\{d_n\}$满足$a_1=a$，$b_1=b$，$c_1=c$，$d_1=d$，对任意正整数$n$，均有\[\begin{split}a_{n+1}&=\left|a_n-b_n\right|,\\b_{n+1}&=\left|b_n-c_n\right|,\\c_{n+1}&=\left|c_n-d_n\right|,\\d_{n+1}&=\left|d_n-a_n\right|,\end{split}\]求证：对任意正整数$a,b,c,d$，均存在正整数$m$，使得$a_m=b_m=c_m=d_m=0$．
数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_2=\dfrac 12$，且$n(n+1)a_{n+1}a_n+na_na_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}$对一切不小于$2$的正整数$n$均成立，则$\{a_n\}$的通项公式为_______．
已知$A,B$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$的长轴顶点，$P,Q$是椭圆上的两点，且满足$k_{AP}=\lambda k_{QB}$($\lambda>1$)．
(1) 求证：直线$AP$和$BQ$的交点在定直线上；
(2) 求证：直线$PQ$过定点；
(3) 求$\triangle PQB$和$\triangle PQA$面积之差的最大值．
已知函数$f(x)=|x-m|$，$g(x)=x|x-m|+m^2-7m$．
(1)若关于$x$的方程$f(x)=|m|$在区间$[-4,+\infty)$上有两个不同的实数根，求实数$m$的取值范围；
(2)若对任意$x_1\in (-\infty,4]$，均存在$x_2\in[3,+\infty)$，使得$f(x_1)>g(x_2)$成立，求实数$m$的取值范围．
在$\triangle ABC$内取一点$O$，设$\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2,\overrightarrow e_3$分别是$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$上的单位向量，求$m=\left|\overrightarrow e_1+\overrightarrow e_2+\overrightarrow e_3\right|$的取值范围．
共25个选择题，90分钟，所有选择题均为不定项选择，选对得4分，错选得0分，漏选得2分．考试日期为2017年4月29日．
1．$a_1,a_2,\cdots,a_9$ 是数字 $1$到$9$ 的一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为( )
A．$213$
B．$214$
C．$215$
D．$216$
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)．
(1) 求证：$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$；
(2) 求证：$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．
平面上有两条线段$AB=3$，$AC=5$，且$\angle BAC=\dfrac{\pi}6$，则线段$AB$和$AC$在该平面上任意一条直线$l$上的投影的长度之和的取值范围是_________．
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