每日一题[1036]闻一知十

求证:存在无穷多组正整数 $x,y,z$ 使得\[(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx).\]


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分析与证明 容易发现 $(x,y,z)=(1,1,1)$ 是方程的一组解.
将其视为关于 $x$ 的方程,可得\[x^2-(3y+3z-2)x+\left(y^2+z^2+2y+2z-3yz\right)=0,\]因此根据韦达定理,若该方程有正整数解 $(x_1,y_1,z_1)$($x_1\leqslant y_1\leqslant z_1$),则必然有正整数解 $(x_1',y_1,z_1)$,其中\[x_1+x_1'=3y_1+3z_1-2.\]将 $(x_1',y_1,z_1)$ 重新从小到大排列为 $(x_2,y_2,z_2)$,则由于\[x_1'=3y_1+3z_1-2-x_1>z_1,\]且\[x_1'=3y_1+3z_1-2-x_1>y_1,\]于是\[z_2=x_1'>z_1,\]然后继续上面的过程,得到新的解 $(x_3,y_3,z_3)$,且\[z_3>z_2>z_1,\]依次类推,可以从 $(1,1,1)$ 出发得到无数组正整数解,原命题得证.

 例如可以由 $(1,1,1)$ 得到 $(3,1,1)$,调整为 $(1,1,3)$ 后得到 $(9,1,3)$,调整为 $(1,3,9)$ 后得到 $(33,3,9)$,依次类推.

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