已知 $f(x)=(2a+1)\cdot {\rm e}^x-\left(a^2-1\right)\cdot {\rm e}^{-x}$．若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是_______；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
正确答案是$[1,+\infty)$；$\left[-1,-\dfrac 12\right]$．
分析与解 解法一
函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^{-x}\cdot\left[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1\right].\]情形一 $a< -1$．此时当 $x>\dfrac 12\ln\dfrac{a^2-1}{-2a-1}$ 时，有\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1<0,\]不符合题意．
情形二 $-1\leqslant a\leqslant -\dfrac 12$．此时\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1<0,\]不符合题意．
情形三 $-\dfrac 12<a<1$．此时当 $x<\dfrac 12\ln\dfrac{1-a^2}{2a+1}$ 时，有\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1<0,\]不符合题意．
情形四 $a\geqslant 1$．此时\[(2a+1)\cdot {\rm e}^{2x}+a^2-1>0,\]符合题意．
综上所述，若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-1,-\dfrac 12\right]$．
解法二 设 $t={\rm e}^x$，其中 $t>0$，则函数 $y=f(x)$ 可以看成\[g(t)=(2a+1)t+\dfrac{1-a^2}t\]与 $t={\rm e}^x$ 的复合函数．根据题意，$g(t)$ 为 $\mathbb R^+$ 上的单调函数．
情形一 $(2a+1)\cdot\left(1-a^2\right)=0$．当 $a=-\dfrac 12,-1$ 时，$g(t)$ 是 $\mathbb R^+$ 上的减函数．当 $a=1$ 时，$g(t)$ 是 $\mathbb R^+$ 上的增函数．
情形二 $(2a+1)\cdot\left(1-a^2\right)>0$．此时 $g(t)$ 在 $t=\sqrt{\dfrac{1-a^2}{2a+1}}$ 两侧单调性不同，不符合题意．
情形三 $(2a+1)\cdot\left(1-a^2\right)<0$．此时当 $a>1$ 时，函数 $g(t)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递增；当 $-1<a<-\dfrac 12$ 时；函数 $g(t)$ 在 $\mathbb R^+$ 上单调递减．
综上所述，若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$；若 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是 $\left[-1,-\dfrac 12\right]$．