每日一题[1032]建系解平几题

在周长为 $6$ 的三角形 $ABO$ 中,$\angle AOB=60^\circ$,点 $P$ 在边 $AB$ 上,$PH\perp OA$ $H$,且 $PH=\dfrac{\sqrt 3}2$$OP=\dfrac{\sqrt 7}2$,求 $OA$


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正确答案是$\dfrac{5\pm\sqrt 7}3$

分析与解 如图,以 $O$ 作坐标原点,$OA$ $x$ 正方向建立平面直角坐标系.
易得 $P\left(1,\dfrac{\sqrt 3}2\right)$$H(1,0)$.设 $A(x,0)$$B(y,\sqrt 3y)$,则\[\begin{cases}x+2y+\sqrt{(x-y)^2+3y^2}=6,\\\dfrac{\sqrt 3y-0}{y-x}=\dfrac{\dfrac{\sqrt 3}2-0}{1-x},\end{cases}\]解得\[(x,y)=\left(\dfrac{5\pm\sqrt{7}}3,\dfrac{7\mp\sqrt 7}7\right).\]


下面给出一道练习,可以尝试建系解决:

已知 $\triangle ABC$ 内一点 $D$ 满足 $\angle BAD=\angle BCD$,且 $\angle BDC=90^\circ$.已知 $AB=5$,$BC=6$,$M$ 为 $AC$ 中点,求 $DM$.
正确答案是$\dfrac {\sqrt {11}}2$.

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