设正整数 $a,b$ 满足 $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k\in\mathbb N$，求证：$k$ 是某个正整数的平方．
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每日一题[1281]谁主沉浮
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=p$，$a_2=p+1$，$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=n-20$，其中 $p$ 是给定的实数，$n$ 是正整数，当 $a_n$ 的值最小时，$n$ 的值是_______．
每日一题[1291]二次型
已知 $a,b,c$ 是非负实数，且 $a^2+b^2+c^2+ab+\dfrac 23ac+\dfrac 43bc=1$，求 $a+b+c$ 的取值范围．
每日一题[1280]迭代函数
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n^2-(1+a_{n+1})a_n+2=0$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$2<a_{n+1}<a_n$；
2、设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$2-2\left(\dfrac 12\right)^n\leqslant S_n-2n\leqslant 3-3\left(\dfrac 23\right)^n$．
每日一题[1279]正弦函数
已知 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$）的图象与直线 $y=m$（$m>0$）的三个相邻交点的横坐标分别为 $\dfrac 23,\dfrac {10}3,\dfrac{14}3$．当 $x\in[m,A]$ 时，$f(x)$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$，则 $A$ 的值是（ ）
A．$\dfrac 23$
B．$\dfrac 43$
C．$2$
D．$4$
每日一题[1278]正弦波的合成
函数 $f(x)=\sin \left(\dfrac {\pi}{4}x-\dfrac {\pi}{6}\right)-2\cos ^2\dfrac {\pi}{8}x+1$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，当 $x \in \left[0,\dfrac 43\right]$ 时，$g(x)$ 的最大值为_______．
每日一题[1277]隔三差五
设 $(x+1)^{2017}=a_{2017}x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+a_{2015}x^{2015}+\cdots +a_1x+a_0$，那么 $a_0+a_4+a_8+\cdots +a_{2016}$ 的值为_______．
每日一题[1276]参数方程
设 $z,w\in\mathbb C$，关于 $w$ 的方程 $w^2+zw+z{\rm i}=0$ 恒有实根，$z$ 在复平面 $xOy$ 上对应点 $Z$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$，则曲线 $\Gamma$ （ ）
A．关于原点对称
B．在直线 $y=1$ 下方
C．关于 $y$ 轴对称
D．是封闭图形
每日一题[1275]先算再配
已知正数 $a,b$ 满足 $3a+b=14$，则 $m=\dfrac{a^2}{a+2b}+\dfrac{b^2}{b+2}$ 的最小值是_______．
每日一题[1274]小构造
已知 $n$ 是正整数，集合 $M=\{x\mid 1\leqslant x\leqslant n,x\in\mathbb N^{\ast}\}$ 的元素和为奇数的非空子集的个数为_______．