每日一题[1280]迭代函数

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$,$a_n^2-(1+a_{n+1})a_n+2=0$($n\in\mathbb N^{\ast}$).

1、求证:$2<a_{n+1}<a_n$;

2、设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$,求证:$2-2\left(\dfrac 12\right)^n\leqslant S_n-2n\leqslant 3-3\left(\dfrac 23\right)^n$.

解析

1、根据题意,有\[a_{n+1}=\dfrac{a_n^2-a_n+2}{a_n},\]也即\[a_{n+1}-2=\dfrac{a_n-1}{a_n}\cdot (a_n-2),\]容易递推证明\[a_n>2,n\in\mathbb N^{\ast},\]进而\[\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}=1-\dfrac{1}{a_n}<1,\]于是\[a_{n+1}<a_n,n\in\mathbb N^{\ast},\]因此原命题得证.

2、根据第 $(1)$ 小题的结果,有\[2<a_n\leqslant 3,n\in\mathbb N^{\ast},\]于是\[\dfrac 12<1-\dfrac{1}{a_n}\leqslant \dfrac 23,\]从而\[\dfrac 12<\dfrac{a_{n+1}-2}{a_n-2}\leqslant \dfrac 23,\]于是\[\left(\dfrac 12\right)^{n-1}\leqslant a_n-2\leqslant \left(\dfrac 23\right)^{n-1},\]因此\[2-2\left(\dfrac 12\right)^n\leqslant S_n-2n\leqslant 3-3\left(\dfrac 23\right)^n,\]原命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表回复