每日一题[1277]隔三差五

设 $(x+1)^{2017}=a_{2017}x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+a_{2015}x^{2015}+\cdots +a_1x+a_0$,那么 $a_0+a_4+a_8+\cdots +a_{2016}$ 的值为_______.

答案    $2^{2015}+2^{1007}$.

解析    设\[\begin{split} A_0&=a_0+a_4+a_8+\cdots+a_{2016},\\ A_1&=a_1+a_5+a_9+\cdots+a_{2017},\\ A_2&=a_2+a_6+a_{10}+\cdots+a_{2014},\\ A_3&=a_3+a_7+a_{11}+\cdots+a_{2015},\end{split}\]分别令 $x=1,{\rm i},-1,-{\rm i}$,得\[\begin{cases} A_0+A_1+A_2+A_3=2^{2017}, \\ A_0+A_1{\rm i}-A_2-A_3{\rm i}=(1+{\rm i})^{2017},\\ A_0-A_1+A_2-A_3=0,\\ A_0-A_1{\rm i}-A_2+A_3{\rm i}=(1-{\rm i})^{2017}, ,\end{cases}\]因此\[\begin{split} A_0&=\dfrac{2^{2017}+(1+{\rm i})^{2017}+0+(1-{\rm i})^{2017}}{4}\\ &=\dfrac{2^{2017}+\left(\dfrac{2017\pi}4:2^{\frac{2017}2}\right)+\left(-\dfrac{2017\pi}4:2^{\frac{2017}2}\right)}{4}\\ &=2^{2015}+2^{1007}.\end{split}\]

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