每日一题[1276]参数方程

设 $z,w\in\mathbb C$,关于 $w$ 的方程 $w^2+zw+z{\rm i}=0$ 恒有实根,$z$ 在复平面 $xOy$ 上对应点 $Z$ 的轨迹为曲线 $\Gamma$,则曲线 $\Gamma$ (       )

A.关于原点对称

B.在直线 $y=1$ 下方

C.关于 $y$ 轴对称

D.是封闭图形

答案     BC.

解析    设关于 $w$ 的方程的实根为 $t$,$z=a+b{\rm i}$,则\[t^2+t(a+b{\rm i})+(a+b{\rm i})\cdot {\rm i}=0,\]也即\[\begin{cases} t^2+ta-b=0,\\ tb+a=0,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} a=-\dfrac{t^3}{1+t^2},\\ b=\dfrac{t^2}{1+t^2}.\end{cases}\]记 $a=\varphi(t)$,$b=\mu(t)$,注意到 $\varphi(t)$ 为奇函数,$\mu(t)$ 为偶函数,于是曲线 $\Gamma$ 关于 $y$ 轴对称.又\[\mu(t)=1-\dfrac{1}{1+t^2}<1,\]于是曲线 $\Gamma$ 在直线 $y=1$ 下方.又当 $t\to\infty$ 时,$\varphi(t)\to \infty$,于是曲线 $\Gamma$ 在 $x$ 轴上的投影不封闭,因此不可能是封闭图形.

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