每日一题[1279]正弦函数

已知 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$($A>0$,$\omega>0$)的图象与直线 $y=m$($m>0$)的三个相邻交点的横坐标分别为 $\dfrac 23,\dfrac {10}3,\dfrac{14}3$.当 $x\in[m,A]$ 时,$f(x)$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$,则 $A$ 的值是(       )

A.$\dfrac 23$

B.$\dfrac 43$

C.$2$

D.$4$

答案     B.

解析    根据题意,函数 $f(x)$ 的周期\[T=\dfrac{14}3-\dfrac 23=4,\]且 $x=4$ 是函数 $f(x)$ 的一个最大值点,于是\[f(x)=A\sin\left(\dfrac{\pi}2x+\dfrac{\pi}2\right).\]由相邻交点较近的一组横坐标之差占周期的 $\dfrac 13$ 可得(类比函数 $y=\sin x$ 的图象)\[m=\dfrac 12A.\]因此函数 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 上的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$. [[case]]情形一[[/case]]区间 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 包含最值点,则 $A=\dfrac 23$,经验证不符合题意. [[case]]情形二[[/case]]区间 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 不包含最值点,则函数 $f(x)$ 在区间单调,因此 $x=\dfrac 34A$ 是函数 $f(x)$ 的零点,有\[\dfrac {\pi}2\cdot \dfrac 34A+\dfrac{\pi}2=k\pi,k\in\mathbb Z,\]即\[A=\dfrac{8k-4}3,k\in\mathbb Z.\]注意到区间 $\left[\dfrac 12A,A\right]$ 的长度不超过半周期,于是 $A<2$,从而唯一可能的解为 $A=\dfrac 43$. 综上所述,实数 $A$ 的值为 $\dfrac 43$.

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