每日一题[1278]正弦波的合成

函数 $f(x)=\sin \left(\dfrac {\pi}{4}x-\dfrac {\pi}{6}\right)-2\cos ^2\dfrac {\pi}{8}x+1$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称,当 $x \in \left[0,\dfrac 43\right]$ 时,$g(x)$ 的最大值为_______.

答案    $\dfrac{\sqrt 3}2$.

解析    所求最大值即函数 $f(x)$ 在区间 $\left[\dfrac 23,2\right]$ 上的最大值.而\[\begin{split}\max_{x\in\left[\frac 23,2\right]}f(x)&=\max_{x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{\pi}2\right]}\left\{\sin \left(x-\dfrac{\pi}6\right)-\cos x\right\}\\ &=\max_{x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{\pi}2\right]}\left\{\sin \left(x-\dfrac{\pi}6\right)+\sin\left(x-\dfrac{\pi}2\right)\right\}\\ &=\max_{x\in\left[\frac{\pi}6,\frac{\pi}2\right]}\sqrt 3\sin\left(x-\dfrac{\pi}3\right)\\ &=\dfrac{\sqrt 3}2.\end{split}\]

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