每日一题[1281]谁主沉浮

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=p$,$a_2=p+1$,$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=n-20$,其中 $p$ 是给定的实数,$n$ 是正整数,当 $a_n$ 的值最小时,$n$ 的值是_______.

答案    $40$.

解析    令 $n=1$,有\[a_3-2a_2+a_1=-19,\]于是\[a_3=p-18,\]记 $b_n=a_{n+1}-a_n$,则 $b_1=1$,且\[b_{n+1}-b_n=n-20,\]于是\[b_{n+1}-1=\dfrac 12n(n+1)-20n,\]即\[b_{n+1}=\dfrac{n^2-39n+2}2,\]于是当 $n\leqslant 38$ 时,$b_{n+1}<0$,当 $n\geqslant 39$ 时,$b_{n+1}>0$,这就意味着\[\begin{cases} a_2>a_3>\cdots>a_{40},\\ a_{40}<a_{41}<\cdots,\end{cases}\]结合 $a_1<a_3$,可得 $a_{40}$ 是数列中的最小项.

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