每日一题[1275]先算再配

已知正数 $a,b$ 满足 $3a+b=14$，则 $m=\dfrac{a^2}{a+2b}+\dfrac{b^2}{b+2}$ 的最小值是_______．

答案    $3$．

解析    根据题意，有\[m=\dfrac{a^2}{28-5a}+\dfrac{b^2}{b+2},\]用拉格朗日乘数法，设\[f(a,b,\lambda)=\dfrac{a^2}{28-5a}+\dfrac{b^2}{b+2}+\lambda(3a+b-14),\]则\[\begin{cases} \dfrac{b(4+b)}{(2+b)^2}+\lambda =0,\\ \dfrac{(56-5a)a}{(28-5a)^2}+3\lambda =0,\\ 3a+b-14=0,\end{cases}\]解得\[(a,b,\lambda)=\left(4,2,-\dfrac 34\right),\]因此\[\begin{split} m&=\dfrac{a^2}{28-5a}+\dfrac {28-5a}4+\dfrac{b^2}{b+2}+\dfrac {b+2}4 +\dfrac 54a+\dfrac 14b-\dfrac{15}2\\ &\geqslant a+b+\dfrac 54a-\dfrac 14b-\dfrac{15}2\\ &=\dfrac 34(3a+b)-\dfrac{15}2\\ &=3,\end{split}\]于是所求 $m$ 的最小值为 $3$．