Math173

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 满足\[\sin A\cot B+\sin B\cot A=2\sin \dfrac C2,\]求证：$A=B$．

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已知 $a,b>0$，则 $\max\left\{a,b,\dfrac 1a+\dfrac 3b\right\}$ 的最小值为（       ）

A．$\sqrt 2$

B．$\sqrt 3$

C．$2$

D．$\sqrt 5$

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已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，记 $n^{{(n+1)}^{n+2}}$ 的末位数字为 $a_n$，则数列 $\{a_n\}$ 的前 $2018$ 项和的末位数字是（       ）

A．$3$

B．$5$

C．$7$

D．$9$

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已知实数 $a,b,c$ 满足 $a^2+b^2=8$ 且 $bc-c^2-4\ne 0$，则代数式 $m=\dfrac{ac-c^2-4}{bc-c^2-4}$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(-\infty,2-\sqrt 3\right)$

B．$\left[2+\sqrt 3,+\infty\right)$

C．$\left(2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right)$

D．$\left[2-\sqrt 3,2+\sqrt 3\right]$

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已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，右准线为 $l$，$P$ 为椭圆上不在坐标轴上的点，过 $F$ 作 $PF$ 的垂线交 $l$ 于 $Q$，$O$ 为坐标原点．

1、求证：直线 $OP$ 和直线 $PQ$ 的斜率之积为定值；

2、若存在点 $P$，使得 $O,F,P,Q$ 四点共圆，求椭圆 $E$ 的离心率的取值范围．

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已知函数 $f(x)=2x^2+t^2$，$g(x)=|x+t-1|$，且对任意实数 $t$，关于 $x$ 的不等式 $f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|\geqslant m$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是_______．

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若函数 $f(x)=mx+\dfrac{\sin x}{{\rm e}^x}$ 在 $(0,2\pi)$ 上有一个极大值和一个极小值，则实数 $m$ 的取值范围是（       ）

A．$\left[-{\rm e}^{-2\pi},{\rm e}^{-\frac{\pi}2}\right)$

B．$\left(-{\rm e}^{-\pi},{\rm e}^{-2\pi}\right]$

C．$\left(-{\rm e}^{\pi},{\rm e}^{-\frac{5\pi}2}\right)$

D．$\left(-{\rm e}^{-3\pi},{\rm e}^{\pi}\right]$

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双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，$M,N$ 两点在双曲线 $C$ 上，且 $MN\parallel F_1F_2$，$|F_1F_2|=4|MN|$，线段 $F_1N$ 交双曲线 $C$ 于点 $Q$，且 $17|F_1Q|=32|QN|$，则双曲线 $C$ 的离心率 $e$ 为_______．

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已知 $a_1>0$，$b_1>0$，且对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{b_n}$，$b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{a_n}$，求证：$a_{50}+b_{50}>20$．

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