已知 $a,b\geqslant 0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+1}}\geqslant \dfrac{a+b}{\sqrt{ab+1}}$．
解析 根据柯西不等式，有\[\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+1}}\geqslant \dfrac{(a+b)^2}{a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}},\]又\[\begin{split} (a+b)\sqrt{ab+1}&=\sqrt{(a+b)\cdot [a(b^2+1)+b(a^2+1)]}\\ &\geqslant \sqrt a\cdot \sqrt{a(b^2+1)}+\sqrt b\cdot \sqrt{b(a^2+1)}\\ &=a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1},\end{split}\]因此原不等式得证．