每日一题[1289]代数变形

已知 $x,y,z\in\mathbb C$,解方程组\[\begin{cases} x+y+z=3,\\ x^2+y^2+z^2=3,\\ x^5+y^5+z^5=3.\end{cases}\]

答案    $(1,1,1)$.

解析    根据题意,有\[xy+yz+zx=\dfrac {(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)}{2}=3,\]又\[\begin{split} 240&=(x+y+z)^5-(x^5+y^5+z^5)\\ &=5(x+y)(y+z)(z+x)(x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx)\\ &=30(3-x)(3-y)(3-z),\end{split}\]于是\[27-9(x+y+z)+3(xy+yz+zx)-xyz=8,\]因此\[xyz=1,\]从而\[\begin{cases} x+y+z=3,\\ xy+yz+zx=3,\\ xyz=1,\end{cases}\]这就意味着 $x,y,z$ 是关于 $t$ 的方程\[t^3-3t^2+3t-1=0\]的三个根,即\[x=y=z=1.\]

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