每日一题[1293]完全平方数

数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 的定义如下:$x_1=1$,$y_1=39$,且\[\begin{cases} x_{n+1}=23x_n+y_n+2,\\ y_{n+1}=551x_n+24y_n+64,\end{cases}\]求证:对一切正整数 $n$,$x_n$ 是完全平方数.

解析    根据题意,有\[y_n=x_{n+1}-23x_n-2,\]于是\[x_{n+2}-23x_{n+1}-2=551x_n+24(x_{n+1}-23x_n-2)+64,\]整理得\[x_{n+2}=47x_{n+1}-x_n+18,\]差分可得\[x_{n+3}=48x_{n+2}-48x_{n+1}+x_n,\]对应的特征根为\[x=1,\dfrac{47+21\sqrt 5}2,\dfrac{47-21\sqrt 5}2,\]记 $\alpha=\dfrac{47+21\sqrt 5}2$,设\[x_n=A+B\cdot \alpha^{n-2}+C\cdot \dfrac{1}{\alpha^{n-2}},\]则\[\begin{cases} A+B\cdot \dfrac{1}{\alpha}+C\cdot \alpha=1,\\ A+B+C=64,\\ A+B\cdot \alpha+C\cdot \dfrac{1}{\alpha}=3025,\end{cases}\]于是\[\begin{cases} A+B+C=64,\\ 2A+47(B+C)=3026,\\ 21\sqrt 5(B-C)=3024,\end{cases}\]解得\[\begin{cases} A=-\dfrac 25,\\ B=\dfrac{161+72\sqrt 5}5,\\ C=\dfrac{161-72\sqrt 5}5,\end{cases}\]注意到\[\dfrac{47+21\sqrt 5}2=\left(\dfrac{3+\sqrt 5}2\right)^4,161+72\sqrt 5=\left(\dfrac{3+\sqrt 5}2\right)^6,\]于是\[x_n=\dfrac{\beta^{4n-2}+\dfrac{1}{\beta^{4n-2}}-2}5=\left(\dfrac{\beta^{2n-1}-\dfrac{1}{\beta^{2n-1}}}{\sqrt 5}\right)^2,\]其中 $\beta=\dfrac{3+\sqrt 5}2$.根据二项式定理,括号内的数是正整数,因此命题得证.

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