每日一题[1292]追本溯源

数列 $\{a_n\}$ 的定义如下:$a_1=1$,且当 $n\geqslant 2$ 时,有 $a_n=\begin{cases} a_{\frac n2}+1,& 2\mid n,\\ \dfrac{1}{a_{n-1}},&2\nmid n,\end{cases}$ 已知 $a_m=\dfrac{30}{19}$,则正整数 $m$ 的值为_______.

答案    $238$.

解析    注意到数列递推时每次的计算均为加 $1$ 或者取倒数,于是任何一项都可以写成只包含这两种计算的形式,如\[a_6=1+a_3=1+\dfrac{1}{a_2}=1+\dfrac{1}{1+a_1}=1+\dfrac{1}{1+1}=\dfrac 32,\]而\[\begin{split}\dfrac {30}{19}&=1+\dfrac{11}{19}\\ &=\cdots \\ &=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+\dfrac {1}{1+1+\dfrac {1}{1+\dfrac 1{1+1}}}}},\end{split}\]于是\[m=(((((1\cdot 2+1)\cdot 2+1)\cdot 4+1)\cdot 2+1)\cdot 2+1)\cdot 2=238.\]

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每日一题[1292]追本溯源》有 2 条评论

  1. 意琦行 意琦行说:

    然后用类似的手段可以把负有理数和$0$添加到数列里来:)

  2. LycheeM LycheeM说:

    可以证明:任意正有理数都在数列$\{a_n\}$中出现且仅出现一次。因此数列$\{a_n\}$是正整数集到正有理数集的一一映射。

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