每日一题[1290]先猜后证

已知 $x,y>0$,则 $m=\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$ 的取值范围为_______.

答案    $\left(1,\dfrac 98\right]$.

解析    令 $x=y$,则\[m=\dfrac{(x+2)(2x+1)}{2(x+1)^2}=1+\dfrac{1}{2\left(x+\dfrac 1x\right)+4},\]于是 $m$ 可以取到 $\left(1,\dfrac 98\right]$ 中的所有实数. 另一方面,尝试证明\[1<\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}\leqslant \dfrac 98,\]即\[x+y<xy+x+y\leqslant \dfrac 18(x+y)(xy+x+y)+\dfrac 98(x+y),\]左边不等式显然成立,右边不等式即\[y(x^2+1)+x(y^2+1)+x^2+y^2\geqslant 6xy,\]由均值不等式即得. 综上所述,所求的取值范围是 $\left(1,\dfrac 98\right]$.

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