每日一题[1287]均值不等式

已知 $a,b,c,d>0$． 求证：$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leqslant\sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}$，并指出上述不等式等号取得的充要条件．

解析    根据题意，有\[\begin{split}\sqrt[3]{\dfrac{ab}{(a+b+c)(b+c+d)}}&=\sqrt[3]{\dfrac a{a+b+c}\cdot \dfrac{b+c}{b+c+d}\cdot \dfrac{b}{b+c}}\\ &\leqslant \dfrac 13\left(\dfrac a{a+b+c}+\dfrac{b+c}{b+c+d}+\dfrac b{b+c}\right),\end{split}\] 且\[\begin{split}\sqrt[3]{\dfrac{cd}{(a+b+c)(b+c+d)}}&=\sqrt[3]{\dfrac {b+c}{a+b+c}\cdot \dfrac{d}{b+c+d}\cdot \dfrac{c}{b+c}}\\ &\leqslant \dfrac 13\left(\dfrac {b+c}{a+b+c}+\dfrac{d}{b+c+d}+\dfrac c{b+c}\right),\end{split}\]两式相加可得\[\sqrt[3]{\dfrac{ab}{(a+b+c)(b+c+d)}}+\sqrt[3]{\dfrac{cd}{(a+b+c)(b+c+d)}}\leqslant 1,\]命题得证．上述不等式等号取得的条件是\[\begin{cases}\dfrac{a}{a+b+c}=\dfrac{b+c}{b+c+d}=\dfrac{b}{b+c},\\ \dfrac{b+c}{a+b+c}=\dfrac{d}{b+c+d}=\dfrac{c}{b+c},\end{cases}\]该方程组实际上只有两个方程，因此将 $c,d$ 看成参数，可解得\[\begin{cases} a=\dfrac{c^2d}{(c-d)^2},\\ b=\dfrac{c^2}{d-c},\end{cases}\]其中 $d>c>0$．