每日一题[1285]暴力计算

如图,在平面四边形 $ABCD$ 中,$AB\perp BC$,$AD\perp DC$,$AB=AD=1$,$\angle BAD=\dfrac{2\pi}3$,射线 $BC$ 上的两个动点 $E,F$($E$ 在线段 $BC$ 上,且不与 $B,C$ 重合)满足 $DC$ 平分 $\angle EDF$,则当 $4BE+BF$ 最小时,$\tan\angle EDF$ 的值是_______.

答案    $\sqrt 3$.

解析    如图.连接 $BD$,则 $\triangle BDC$ 为正三角形,建立平面直角坐标系 $B-FA$,则 $D\left(\dfrac{\sqrt 3}2,\dfrac 32\right)$.

设 $\angle EDF=2\theta$,其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}3\right)$,则直线 $DE,DF$ 的倾斜角分别为 $\dfrac{2\pi}3-\theta,\dfrac{2\pi}3+\theta$,设 $BE=m$,$BF=n$,则\[\dfrac{\dfrac 32}{\dfrac {\sqrt 3}2-m}=\tan\left(\dfrac{2\pi}3-\theta\right),\]解得\[m=\dfrac{3-\sqrt 3\cdot t}{\sqrt 3+t},\]其中 $t=\tan\theta$,类似可得\[n=\dfrac{3+\sqrt 3\cdot t}{\sqrt 3-t},\]因此\[\begin{split} 4BE+BF&=4\cdot \dfrac{3-\sqrt 3\cdot t}{\sqrt 3+t}+\dfrac{3+\sqrt 3\cdot t}{\sqrt 3-t}\\ &=\dfrac{5\sqrt 3\cdot t^2-18t+15\sqrt 3}{3-t^2}\\ &=\dfrac{18}{\dfrac{10}{\sqrt 3}-\left(\dfrac{5}{\sqrt 3}-t+\dfrac{\dfrac{16}3}{\dfrac{5}{\sqrt 3}-t}\right)}-5\sqrt 3\\ &\geqslant 4\sqrt 3,\end{split}\]等号当且仅当 $t=\dfrac{1}{\sqrt 3}$,也即 $\theta=\dfrac{\pi}6$ 时取得,此时 $\tan\angle EDF=\sqrt 3$.

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