在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，$2ab\sin A+(ac-6)\sin 2B=2b^2\sin A\cos C$，$b=2$，则 $\triangle ABC$ 的外接圆面积的最小值为_______．
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每日一题[1341]转移阵地
如图，等边三角形 $ABC$ 的边长为 $2$，顶点 $B,C$ 分别在 $x$ 轴的非负半轴，$y$ 轴的非负半轴上移动，$M$ 为 $AB$ 的中点，则 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}$ 的最大值为_______．
每日一题[1340]无巧不成书
函数 $f(x)=\dfrac{1+\sqrt 3\sin 2x+\cos 2x}{1+\sin x+\sqrt 3\cos x}$ 的值域为_______．
每日一题[1339]不动点
若关于 $x$ 的方程 $\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+{\rm e}^x-x}}}={\rm e}^x-x$ 有实数解，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
每日一题[1338]齐次代换
已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12mx^2-x$．
1、当 $m=4$ 时，求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）且 $\ln x_2-2\ln x_1>\dfrac{ax_1}{x_2-x_1}$ 恒成立，求整数 $a$ 的最大值．
每日一题[1337]代数与几何
设点 $M$ 是棱长为 $2$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的棱 $AD$ 的中点，点 $P$ 在面 $BCC_1B_1$ 所在的平面内，若平面 $D_1PM$ 分别与平面 $ABCD$ 和平面 $BCC_1B_1$ 所成的锐二面角相等，则点 $P$ 到 $C_1$ 的最小距离是（ ）
A．$\dfrac{2\sqrt 5}5$
B．$\dfrac{\sqrt 2}2$
C．$1$
D．$\dfrac{\sqrt 6}3$
每日一题[1336]掩人耳目
等腰三角形 $AOB$ 内接于抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），$O$ 为抛物线顶点，$OA\perp OB$，$\triangle AOB$ 的面积是 $16$，抛物线的焦点为 $F$，$M$ 为抛物线上的动点，则 $\dfrac{|OM|}{|MF|}$ 的最大值是（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}3$
B．$\dfrac{\sqrt 6}3$
C．$\dfrac{2\sqrt 3}3$
D．$\dfrac{2\sqrt 6}3$
每日一题[1335]齐次
已知 $a,b,c>0$，且 $a+b+c=3$，求证：$\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}\geqslant \dfrac 32$．
每日一题[1334]杀机四伏
已知平面向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ 满足 $\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=1$，$\overrightarrow b\cdot \overrightarrow c=1$，$\overrightarrow c\cdot \overrightarrow a=2$，则 $\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c\right|$ 的取值范围是_______．
每日一题[1333]回归定义
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交双曲线于 $A,B$ 两点，点 $C$ 是点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点，若 $CF\perp AB$ 且 $2|AF|=|FB|$，则双曲线的离心率为_______．