每日一题[1342]化角为边

在 $\triangle ABC$ 中,角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,$2ab\sin A+(ac-6)\sin 2B=2b^2\sin A\cos C$,$b=2$,则 $\triangle ABC$ 的外接圆面积的最小值为_______.

答案    $\pi$.

解析    根据题意,有\[2ab\sin A+2(ac-6)\sin B\cos B=2b^2\sin A\cos C,\]由正弦定理和余弦定理可得\[2ab\cdot a+2(ac-6)\cdot b\cdot \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=2b^2\cdot a\cdot \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab},\]整理得\[2b(ac-3)(a^2+c^2-b^2)=0,\]结合 $b=2$,可得\[ac=3\lor a^2+c^2=4.\]若 $ac=3$,则\[\cos B=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\geqslant \dfrac{2ac-b^2}{2ac}=\dfrac 13,\]于是\[\sin^2B\leqslant \dfrac 89.\]若 $a^2+c^2=4$,则\[\sin^2B=1,\]因此 $\triangle ABC$ 的外接圆面积\[\left(\dfrac{b}{2\sin B}\right)^2\pi=\dfrac{\pi}{\sin^2B}\geqslant \pi,\]等号当 $\sin B=1$ 时取得,如取\[(a,b,c)=\left(\sqrt 2,2,\sqrt 2\right),\]因此所求最小值为 $\pi$.

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