已知函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x$（$a\in\mathbb R$）．
1、若曲线 $y=f(x)$ 在 $x={\rm e}$ 处切线的斜率为 $-1$，求此切线的方程．
2、若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，求 $a$ 的取值范围，并证明：$x_1x_2>x_1+x_2$．
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每日一题[1451]极值点偏移
每日一题[1450]坐标计算
在棱长为 $3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，$\triangle A_1DB$ 与 $\triangle A_1DC_1$ 的重心分别为 $E,F$，则正方体的外接球被 $E,F$ 所在的直线截得的弦长为( )
A．$5$
B．$\sqrt{26}$
C．$3\sqrt 3$
D．$2\sqrt 7$
每日一题[1449]构造函数
已知函数 $f(x)=(ax+1){\rm e}^x$，$a\in\mathbb R$．
1、当 $a>0$ 时，证明：$f(x)+\dfrac a{\rm e}>0$．
2、当 $a=-\dfrac 12$ 时，如果 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2<2$．
阅读更多每日一题[1448]分段函数的零点
已知函数 $f(x)=|x-a|-\dfrac 3x+a$（$a\in\mathbb R$），若方程 $f(x)=2$ 有且只有三个不同的实数解，则 $a$ 的取值范围是( )
A．$\big(1+\sqrt 3,3\big)$
B．$\big(-1,1-\sqrt 3\big)\cup \big(1+\sqrt 3,+\infty\big)$
C．$\big(-\infty,1-\sqrt 3\big)$
D．$\big(-\infty,1-\sqrt 3\big)\cup \big(1+\sqrt 3,3\big)$
继续阅读每日一题[1447]向量共线
已知 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为底边 $BC$ 上一点，且 $\dfrac{BD}{DC}=\lambda$，$P,Q$ 分别为 $AB,AC$ 上一点，$PQ$ 与 $AD$ 交于点 $R$，$\dfrac{AD}{AR}=\mu_0$，$\dfrac{AB}{AP}=\mu_1$，$\dfrac{AC}{AQ}=\mu_2$，求证：$\mu_0=\dfrac{\mu_1+\lambda\cdot \mu_2}{1+\lambda}$．
每日一题[1446]换底公式
如图，圆 $O$ 为直角三角形 $ABC$ 的内切圆，已知 $AC=3$，$BC=4$，$\angle C$ 为直角，过圆心 $O$ 的直线 $l$ 交圆于 $P,Q$ 两点，则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的取值范围是_______．
每日一题[1445]分拆与裂项
已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\dfrac 52$，$2a_{n+1}=a_n^2+1$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），若 $\dfrac{2a_1-1}{a_1+1}+\dfrac{2a_2-1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{2a_{2018}-1}{a_{2018}+1}>m$ 成立，则整数 $m$ 的最大值为_______．
继续阅读每日一题[1444]元素拆解
$\dfrac {1-2{\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2}{ {\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3+ {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2+ {\log_{15}}2 \cdot {\log_6}5}$ 的值为_______．
继续阅读每日一题[1443]连锁反应
解不定方程 $\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_{2019}=y$，其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$．
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