每日一题[1448]分段函数的零点

已知函数 $f(x)=|x-a|-\dfrac 3x+a$($a\in\mathbb R$),若方程 $f(x)=2$ 有且只有三个不同的实数解,则 $a$ 的取值范围是( )

A.$\big(1+\sqrt 3,3\big)$

B.$\big(-1,1-\sqrt 3\big)\cup \big(1+\sqrt 3,+\infty\big)$

C.$\big(-\infty,1-\sqrt 3\big)$

D.$\big(-\infty,1-\sqrt 3\big)\cup \big(1+\sqrt 3,3\big)$

答案 D.

解析 题意即函数\[g(x)=\begin{cases} -x-\dfrac 3x+2a-2,&x<a,\\ x-\dfrac 3x-2,&x\geqslant a,\end{cases}\]有三个零点.设 $f_1(x)=\dfrac 12x+\dfrac 3{2x}+1$,$f_2(x)=x-\dfrac 3x-2$,由直线 $y=x$ 上一点 $P(a,a)$ 可以确定两条射线,如图.根据题意,这两条射线与 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 共有 $3$ 个公共点.

考虑到函数 $f_1(x)$ 的极大值为 $1-\sqrt 3$,极小值为 $1+\sqrt 3$,于是两条射线与 $f_1(x)$ 的公共点个数 $n_1$ 以及与 $f_2(x)$ 的公共点个数 $n_2$ 与 $P$ 点位置(由 $a$ 确定)的关系为\[\begin{array} {c|ccccccccc}\hline a&(-\infty,-1)&-1&(-1,1-\sqrt 3)&1-\sqrt 3&(1-\sqrt 3,1+\sqrt 3)&1+\sqrt 3&(1+\sqrt 3,3)&3&(3,+\infty)\\ \hline n_1&1&1&2&1&0&1&2&1&1\\ \hline n_2&2&2&1&1&1&1&1&1&0\\ \hline n_1+n_2&3&3&3&2&1&2&3&2&1\\ \hline \end{array}\] 因此所求 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,1-\sqrt 3)\cup (1+\sqrt 3,3)$.

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