每日一题[1449]构造函数

已知函数 $f(x)=(ax+1){\rm e}^x$,$a\in\mathbb R$.

1、当 $a>0$ 时,证明:$f(x)+\dfrac a{\rm e}>0$.

2、当 $a=-\dfrac 12$ 时,如果 $x_1\ne x_2$,且 $f(x_1)=f(x_2)$,证明:$x_1+x_2<2$.

解析 1、题中不等式即\[(ax+1){\rm e}^x+\dfrac a{\rm e}>0,\]也即\[\left(x{\rm e}^x+\dfrac{1}{\rm e}\right)a+{\rm e}^x>0.\]考虑到\[\left(x{\rm e}^x+\dfrac{1}{\rm e}\right)'={\rm e}^x(x+1),\]于是其极小值,亦为最小值在 $x=-1$ 处取得,为 $0$,从而\[\left(x{\rm e}^x+\dfrac{1}{\rm e}\right)a+{\rm e}^x>{\rm e}^x>0,\]命题得证.

2、根据题意,有\[\left(-\dfrac 12x_1+1\right){\rm e}^{x_1}=\left(-\dfrac 12x_2+1\right){\rm e}^{x_2},\]即\[(2-x_1){\rm e}^{x_1}=(2-x_2){\rm e}^{x_2}.\]记 $g(x)=(2-x){\rm e}^x$,考虑到\[g'(x)=(1-x){\rm e}^x,g''(x)=-x{\rm e}^x,\]于是构造函数\[h(x)=-\dfrac {\rm e}2(x-1)^2+{\rm e},\]令\[\varphi(x)=g(x)-h(x),\]则其导函数\[\varphi'(x)=(1-x){\rm e}^x+{\rm e}(x-1),\]其二阶导函数\[\varphi''(x)=-x{\rm e}^x+{\rm e},\]于是 $\varphi'(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增,在 $(1,+\infty)$ 单调递减,结合 $\varphi'(1)=0$,可得 $\varphi(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递减.不妨设 $x_1<x_2$,则有\[\varphi(x_1)>\varphi(x_2),\]从而\[h(x_2)>h(x_1)\iff x_2-1<1-x_1\iff x_1+x_2<2,\]命题得证.

此条目发表在每日一题分类目录。将固定链接加入收藏夹。

发表评论