每日一题[1450]坐标计算

在棱长为 $3$ 的正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中,$\triangle A_1DB$ 与 $\triangle A_1DC_1$ 的重心分别为 $E,F$,则正方体的外接球被 $E,F$ 所在的直线截得的弦长为( )

A.$5$

B.$\sqrt{26}$

C.$3\sqrt 3$

D.$2\sqrt 7$

答案 B

解析 建立空间直角坐标系 $A-BDA_1$,则\[A_1(0,0,3),D(0,3,0),B(3,0,0),C_1(3,3,3),\]于是\[E(1,1,1),F(1,2,2),\]正方体的外接球心为 $O\left(\dfrac 32,\dfrac 32,\dfrac 32\right)$,因此 $\triangle OEF$ 的面积\[S=\dfrac 12\left|\overrightarrow{OE}\times \overrightarrow{OF}\right|=\dfrac 12\left|\left(0,\dfrac 12,-\dfrac 12\right)\right|=\dfrac{\sqrt 2}4,\]因此\[d(O,EF)=\dfrac{2S}{|EF|}=\dfrac 12,\]而外接球半径为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$,因此所求弦长为\[2\sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt 3}2\right)^2-\left(\dfrac 12\right)^2}=\sqrt {26}.\]

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