Math173

求证：各项均为正整数且有一项为完全平方数的无穷等差数列中必然有无穷多项为完全平方数．

已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足对任意的 $x\in[-1,1]$，有 $|f(x)|\leqslant 1$，求证：对任意 $x\in[-1,1]$，有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

是否存在正整数 $x,y$，使得 $x^2+y$ 和 $y^2+x$ 都是完全平方数？

已知复数 $z_1=\sin\theta+2{\rm i}$，$z_2=1+{\rm i}\cos\theta$，则 $\dfrac{14-\left|z_1+{\rm i}z_2\right|^2}{\left|z_1-{\rm i}z_2\right|}$ 的最小值为（ ）

A．$2$

B．$2\sqrt 2$

C．$2\sqrt 3$

D．前三个答案都不对

在 $\triangle{ABC}$ 中，已知 $6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$，则 $\angle A=$ （ ）

A．$30^{\circ}$

B．$45^{\circ}$

C．$60^{\circ}$

D．$135^{\circ}$

设关于 $x$ 的方程 $x^2-2ax|x-a|-2ax+1=0$ 有 $3$ 个互不相同的实根，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）

A．$[1,+\infty)$

B．$(-\infty,-1]$

C．$[-1,0)\cup (0,1]$

D．前三个答案都不对

已知单位向量 $\overrightarrow e_1,\overrightarrow e_2$ 的夹角为 $120^\circ$，$\left|x\overrightarrow e_1+y\overrightarrow e_2\right|=\sqrt 3$（$x,y\in\mathbb R$），则 $\left|x\overrightarrow e_1-y\overrightarrow e_2\right|$ 的取值范围是_______．

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已知 $a,b,c\in\mathbb R$，求证：$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$，并指出等号取得的条件．

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已知 $a,b,c>0$，且 $2a^2+b^2=9c^2$，则 $m=\dfrac{2c}{a}+\dfrac cb$ 的最小值为_______．

答案    $\sqrt 3$．

解析    根据题意，有\[\begin{split} m&=\dfrac {\left(2c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(2a^2)^{\frac 12}}+\dfrac {\left(c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{(b^2)^{\frac 12}}\\ &\geqslant \dfrac{\left(2c^{\frac 23}+c^{\frac 23}\right)^{\frac 32}}{\left(2a^2+b^2\right)^{\frac 12}}\\ &=\sqrt 3,\end{split}\]等号当\[\dfrac{2c^{\frac 23}}{2a^2}=\dfrac{c^{\frac 23}}{b^2}\]时取得，因此所求最小值为 $\sqrt 3$．

已知非负实数 $a,b,c$ 满足 $a+b+c=1$，若 $a^3+2b^2+\dfrac{10}3c$ 的最大值和最小值分别为 $M$ 和 $m$，则 $M+m=$ _______．

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