每日一题[1446]换底公式

如图,圆 $O$ 为直角三角形 $ABC$ 的内切圆,已知 $AC=3$,$BC=4$,$\angle C$ 为直角,过圆心 $O$ 的直线 $l$ 交圆于 $P,Q$ 两点,则 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的取值范围是_______.

答案 $[-7,1]$.

解析 根据题意,$\triangle ABC$ 的内切圆半径为 $1$.应用向量的换底公式,有\[\begin{split} \overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}&=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\right)\cdot \left(\overrightarrow {OQ}-\overrightarrow{OC}\right)\\ &=\left(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}\right)\cdot \left(-\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}\right)\\ &=-\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OP}\cdot \left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}\right)+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}\\ &=-3+\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{CB},\end{split}\]于是所求数量积的取值范围是 $[-7,1]$.

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