每日一题[1443]连锁反应

解不定方程 $\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_{2019}=y$,其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$.

答案 无解.

解析 根据题意,有\[x_k=\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_k,k=1,2,\cdots,2019,\]均为正整数.而\[\sqrt x<\sqrt{x+\sqrt{x}}<\sqrt x+1,\]因此若 $\sqrt x $ 是正整数,则 $\sqrt{x+\sqrt x}$ 不是正整数,所以原不定方程无解.

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