已知 $a,b\geqslant 0$，求证：$\dfrac{a}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+1}}\geqslant \dfrac{a+b}{\sqrt{ab+1}}$．
如图，在平面四边形 $ABCD$ 中，$AB\perp BC$，$AD\perp DC$，$AB=AD=1$，$\angle BAD=\dfrac{2\pi}3$，射线 $BC$ 上的两个动点 $E,F$（$E$ 在线段 $BC$ 上，且不与 $B,C$ 重合）满足 $DC$ 平分 $\angle EDF$，则当 $4BE+BF$ 最小时，$\tan\angle EDF$ 的值是_______．
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，求证：$\displaystyle\dfrac{2n}3\sqrt n<\sum_{k=1}^n\sqrt k<\dfrac{4n+3}6\sqrt n$．
设集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2018\}$，对于 $A$ 的 $1009$ 元子集 $M$，若存在 $a,b\in M$ 满足 $a\mid b$，则称 $M$ 为好集．求最大的正整数 $n$，使得所有 $A$ 的包含 $n$ 的 $1009$ 元子集都是好集．
设正整数 $a,b$ 满足 $\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}=k\in\mathbb N$，求证：$k$ 是某个正整数的平方．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=p$，$a_2=p+1$，$a_{n+2}-2a_{n+1}+a_n=n-20$，其中 $p$ 是给定的实数，$n$ 是正整数，当 $a_n$ 的值最小时，$n$ 的值是_______．
已知 $a,b,c$ 是非负实数，且 $a^2+b^2+c^2+ab+\dfrac 23ac+\dfrac 43bc=1$，求 $a+b+c$ 的取值范围．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=3$，$a_n^2-(1+a_{n+1})a_n+2=0$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
1、求证：$2<a_{n+1}<a_n$；
2、设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，求证：$2-2\left(\dfrac 12\right)^n\leqslant S_n-2n\leqslant 3-3\left(\dfrac 23\right)^n$．
已知 $f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)$（$A>0$，$\omega>0$）的图象与直线 $y=m$（$m>0$）的三个相邻交点的横坐标分别为 $\dfrac 23,\dfrac {10}3,\dfrac{14}3$．当 $x\in[m,A]$ 时，$f(x)$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 23,\dfrac 23\right]$，则 $A$ 的值是（ ）
A．$\dfrac 23$
B．$\dfrac 43$
C．$2$
D．$4$
函数 $f(x)=\sin \left(\dfrac {\pi}{4}x-\dfrac {\pi}{6}\right)-2\cos ^2\dfrac {\pi}{8}x+1$ 的图象与函数 $y=g(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，当 $x \in \left[0,\dfrac 43\right]$ 时，$g(x)$ 的最大值为_______．
