每日一题[1445]分拆与裂项

已知数列 $\{a_n\}$ 中,$a_1=\dfrac 52$,$2a_{n+1}=a_n^2+1$($n\in\mathbb N^{\ast}$),若 $\dfrac{2a_1-1}{a_1+1}+\dfrac{2a_2-1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{2a_{2018}-1}{a_{2018}+1}>m$ 成立,则整数 $m$ 的最大值为_______.

答案 $4034$.

解析 考虑到递推公式对应的不动点为 $1$,有\[2(a_{n+1}-1)=(a_n+1)(a_n-1),\]进而有\[\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{2}{(a_n+1)(a_n-1)},\]也即\[\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{1}{a_n-1}-\dfrac{1}{a_n+1}\iff \dfrac{1}{a_{n}-1}-\dfrac{1}{a_{n+1}-1}=\dfrac{1}{a_n+1}.\]记题中不等式左边为 $A$,则\[\begin{split} A&=\sum_{k=1}^{2018}\dfrac{2a_k-1}{a_k+1}\\ &=4036-3\sum_{k=1}^{2018}\dfrac 1{a_k+1}\\ &=4036-3\left(\dfrac{1}{a_1-1}-\dfrac{1}{a_{2019}-1}\right)\\ &=4034+\dfrac{3}{a_{2019}-1},\end{split}\]容易递推证明 $a_n>2n$($n\in\mathbb N^{\ast}$),于是\[0<\dfrac{3}{a_{2019}-1}<1,\]因此整数 $m$ 的最大值为 $4034$.

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